1). Белка массой 0,5 кг сидит на абсолютно гладкой обледенелой, горизонтальной крыше. Человек бросает белке камень массой 0,1 кг, который летит горизонтально со скоростью 6 м/с. Белка хватает камень и удерживает его. Вычислите скорость белки, поймавшей камень.
2). Санки начинают движение из состояния покоя с обледенелой горки высоты 20 м. На какой высоте их скорость составит 10 м/с? Трением и сопротивлением пренебречь.
Давайте разберем каждый из вопросов по отдельности.
Когда белка массой ( m_1 = 0.5 ) кг ловит камень массой ( m_2 = 0.1 ) кг, летящий со скоростью ( v_2 = 6 ) м/с, мы можем использовать закон сохранения импульса для решения этой задачи. Поскольку крыша абсолютно гладкая, трение отсутствует, и внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют, импульс системы белка-камень сохраняется.
Изначально, белка покоится, поэтому ее импульс равен нулю. Камень имеет импульс, равный ( m_2 \times v_2 ). После захвата камня, белка и камень движутся вместе с общей скоростью ( v ).
Закон сохранения импульса можно записать как:
[ m_1 \times 0 + m_2 \times v_2 = (m_1 + m_2) \times v ]
Подставим известные значения:
[ 0.1 \times 6 = (0.5 + 0.1) \times v ]
[ 0.6 = 0.6 \times v ]
Решая это уравнение, получаем:
[ v = 1 \, \text{м/с} ]
Таким образом, скорость белки с камнем после захвата составляет 1 м/с.
Для решения этой задачи используется закон сохранения механической энергии, так как трение и сопротивление отсутствуют. Полная механическая энергия системы, которая включает потенциальную и кинетическую энергии, сохраняется.
Изначально, санки находятся на высоте ( h_0 = 20 ) м с нулевой начальной скоростью, поэтому их начальная кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна ( mgh_0 ), где ( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 ).
Когда санки достигают скорости 10 м/с на некоторой высоте ( h ), их кинетическая энергия равна ( \frac{1}{2} mv^2 ), а потенциальная энергия равна ( mgh ).
Согласно закону сохранения энергии:
[ mgh_0 = mgh + \frac{1}{2} mv^2 ]
Сокращая массу ( m ) и подставляя известные значения, получаем:
[ gh_0 = gh + \frac{1}{2} v^2 ]
[ 9.8 \times 20 = 9.8 \times h + \frac{1}{2} \times 10^2 ]
[ 196 = 9.8h + 50 ]
[ 9.8h = 196 - 50 ]
[ 9.8h = 146 ]
[ h = \frac{146}{9.8} ]
[ h \approx 14.9 \, \text{м} ]
Таким образом, санки достигают скорости 10 м/с на высоте приблизительно 14.9 метров.
1) Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения импульса. Импульс системы до броска камня равен импульсу системы после того, как белка поймала камень.
Импульс до броска камня: m1 v1 = 0.5 кг 0 м/с = 0
Импульс после броска камня: (m1 + m2) v = (0.5 кг + 0.1 кг) v
Так как скорость камня до броска и после пойманного белкой равны, то v = 6 м/с.
Составляем уравнение: (0.5 кг + 0.1 кг) 6 м/с = 0.6 кг v
Отсюда находим скорость белки: v = 0.6 кг * 6 м/с / 0.6 кг = 6 м/с
Таким образом, скорость белки, поймавшей камень, также равна 6 м/с.
2) Для нахождения высоты, на которой скорость санок составит 10 м/с, можно использовать законы сохранения механической энергии.
Из закона сохранения энергии: Eпот = Eкин
mgh = 0.5mv^2
где m - масса санок, h - высота, v - скорость.
Подставляем известные значения: m 9.8 м/с^2 h = 0.5 m (10 м/с)^2
Упрощаем уравнение, убирая массу санок: 9.8 м/с^2 h = 0.5 100
h = 50 / 9.8 ≈ 5.1 м
Таким образом, на высоте около 5.1 м скорость санок составит 10 м/с.
