Бруски массами m и 3m скользят по горизонтальной поверхности доски навстречу друг другу. Скорости брусков перед ударом противоположны и равны v=3 м/с у каждого. Бруски слипаются и движутся в дальнейшем поступательно. Коэффициент трения скольжения между брусками и доской μ=0,2 . На какое расстояние S переместятся слипшиеся бруски к моменту, когда их общая скорость уменьшиться на 40%?
Для решения задачи необходимо учесть несколько этапов: определение скорости брусков после столкновения, вычисление силы трения, а затем использование этой силы для нахождения расстояния, на которое переместятся слипшиеся бруски.
Перед столкновением скорости брусков равны:
Согласно закону сохранения импульса, общий импульс системы до столкновения равен общему импульсу после столкновения:
[ m v_1 + 3m v_2 = (m + 3m) V ]
Подставим значения:
[ m \cdot 3 + 3m \cdot (-3) = 4m V ]
[ 3m - 9m = 4m V ]
[ -6m = 4m V ]
Теперь разделим обе стороны на ( 4m ):
[ V = -\frac{6}{4} = -1.5 \, \text{м/с} ]
Скорость слипшихся брусков после столкновения равна ( 1.5 \, \text{м/с} ) в сторону бруска с массой ( 3m ).
Сила трения ( F_{\text{тр}} ) определяется по формуле:
[ F_{\text{тр}} = \mu N ]
где ( N ) — нормальная сила. В нашем случае нормальная сила равна весу системы брусков:
[ N = (m + 3m) g = 4m g ]
Подставим значение в формулу силы трения:
[ F_{\text{тр}} = \mu \cdot 4mg = 0.2 \cdot 4mg = 0.8mg ]
Сила трения будет вызывать замедление брусков. Применим второй закон Ньютона:
[ F = ma ]
С учетом силы трения:
[ -0.8mg = (4m) a ]
Разделим обе стороны на ( 4m ):
[ a = -\frac{0.8g}{4} = -0.2g ]
Подставим значение ускорения свободного падения ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ):
[ a = -0.2 \cdot 9.8 = -1.96 \, \text{м/с}^2 ]
Теперь найдем расстояние ( S ), на которое переместятся бруски, пока их скорость не уменьшится на 40%.
Сначала определим конечную скорость:
[ V_f = V \cdot (1 - 0.4) = 1.5 \cdot 0.6 = 0.9 \, \text{м/с} ]
Используем уравнение движения с постоянным ускорением:
[ V_f^2 = V^2 + 2aS ]
Подставим известные значения:
[ (0.9)^2 = (1.5)^2 + 2(-1.96)S ]
Решим это уравнение:
[ 0.81 = 2.25 - 3.92S ]
Переносим все в одну сторону:
[ 3.92S = 2.25 - 0.81 ]
[ 3.92S = 1.44 ]
Теперь разделим обе стороны на ( 3.92 ):
[ S = \frac{1.44}{3.92} \approx 0.367 \, \text{м} ]
Слипшиеся бруски переместятся примерно на ( 0.367 \, \text{м} ) до момента, когда их общая скорость уменьшится на 40%.
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса и динамикой поступательного движения.
Требуется найти расстояние ( S ), которое слипшиеся бруски пройдут до момента, когда их скорость уменьшится на 40%.
Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до удара равна импульсу системы после удара:
[ p{\text{до}} = p{\text{после}}. ]
Импульс до удара: [ p_{\text{до}} = m \cdot v_1 + 3m \cdot v_2. ]
Подставим значения: [ p_{\text{до}} = m \cdot 3 + 3m \cdot (-3) = 3m - 9m = -6m. ]
Импульс после удара: [ p{\text{после}} = (m + 3m) \cdot v{\text{системы}} = 4m \cdot v_{\text{системы}}. ]
Приравняем импульсы: [ -6m = 4m \cdot v_{\text{системы}}. ]
Сократим на ( m ) и найдём ( v{\text{системы}} ): [ v{\text{системы}} = -\frac{6}{4} = -1,5 \, \text{м/с}. ]
Таким образом, слипшиеся бруски начинают двигаться со скоростью ( v_{\text{нач}} = 1,5 \, \text{м/с} ) (модуль скорости, так как направление учитываем).
После удара слипшиеся бруски движутся поступательно, замедляясь под действием силы трения.
Сила трения: [ F_{\text{тр}} = \mu \cdot N, ] где ( N ) — сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности ( N = mg ), где ( m ) — общая масса системы.
Общая масса: [ M = m + 3m = 4m. ]
Сила трения: [ F_{\text{тр}} = \mu \cdot 4m \cdot g. ]
Подставим численные значения (( g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 )): [ F_{\text{тр}} = 0,2 \cdot 4m \cdot 9,8 = 7,84m \, \text{Н}. ]
Согласно второму закону Ньютона, ускорение ( a ) связано с силой трения: [ a = \frac{F_{\text{тр}}}{M}. ]
Подставим значения: [ a = \frac{7,84m}{4m} = 1,96 \, \text{м/с}^2. ]
Ускорение направлено противоположно скорости движения, поэтому ( a = -1,96 \, \text{м/с}^2 ).
По условию скорость уменьшается на 40%: [ v{\text{кон}} = 0,6v{\text{нач}} = 0,6 \cdot 1,5 = 0,9 \, \text{м/с}. ]
Для движения с постоянным ускорением используем формулу: [ v{\text{кон}}^2 = v{\text{нач}}^2 + 2aS. ]
Выразим ( S ): [ S = \frac{v{\text{кон}}^2 - v{\text{нач}}^2}{2a}. ]
Подставим значения (( a = -1,96 )): [ S = \frac{0,9^2 - 1,5^2}{2 \cdot (-1,96)}. ]
Выполним расчёты: [ 0,9^2 = 0,81, \quad 1,5^2 = 2,25. ]
Разность: [ 0,9^2 - 1,5^2 = 0,81 - 2,25 = -1,44. ]
Подставим в формулу: [ S = \frac{-1,44}{2 \cdot (-1,96)} = \frac{-1,44}{-3,92} \approx 0,367 \, \text{м}. ]
Слипшиеся бруски переместятся на расстояние ( S \approx 0,367 \, \text{м} ) до момента, когда их скорость уменьшится на 40%.
Для решения задачи сначала найдем общую массу слипшихся брусков: ( m + 3m = 4m ).
Скорость брусков перед ударом равна ( v_{0} = v + v = 3 + 3 = 6 ) м/с. После слияния общая скорость ( v' = \frac{(m \cdot 3 + 3m \cdot (-3))}{4m} = 0 ) (так как они движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и слипаются).
Однако, поскольку они слипаются, скорость после удара будет равна нулю, и нам нужно найти, как изменится скорость при действии сил трения.
Сначала найдем силу трения:
[ F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot (4m \cdot g) = 0.2 \cdot (4m \cdot g) = 0.8mg ]
Теперь рассчитаем замедление, вызванное силой трения:
[ a = \frac{F{тр}}{m{общ}} = \frac{0.8mg}{4m} = 0.2g ]
Теперь, чтобы найти, на какое расстояние будут двигаться бруски, пока их скорость не уменьшится на 40%, найдем конечную скорость:
[ v{кон} = v{0} \cdot (1 - 0.4) = 6 \cdot 0.6 = 3.6 \text{ м/с} ]
Теперь можем использовать уравнение движения:
[ v{кон}^2 = v{0}^2 + 2aS ]
Поскольку ( v_{кон} = 0 ) (после столкновения) и ( a = -0.2g ):
[ 0 = (3.6)^2 + 2(-0.2g)S ]
Решая это уравнение:
[ 0 = 12.96 - 0.4gS ]
С учетом ( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 ):
[ 0 = 12.96 - 0.4 \cdot 9.8S ]
Решая на S:
[ 0.4 \cdot 9.8S = 12.96 ]
[ S = \frac{12.96}{0.4 \cdot 9.8} ]
[ S \approx \frac{12.96}{3.92} \approx 3.3 \text{ м} ]
Таким образом, расстояние ( S ), на которое переместятся слипшиеся бруски, составляет примерно 3.3 метра.
