Для того чтобы сделать летательный аппарат искусственным спутником некоторой планеты, этому летательному аппарату, вылетая с это планеты нужно развить скорость 2 км/c. Если масса данной планеты 10^23 кг, то каков её радиус (в км)?
Для того чтобы сделать летательный аппарат искусственным спутником некоторой планеты, этому летательному аппарату, вылетая с это планеты нужно развить скорость 2 км/c. Если масса данной планеты 10^23 кг, то каков её радиус (в км)?
Для решения задачи нам нужно использовать формулу первой космической скорости ( v_1 ), которая определяется как минимальная скорость, необходимая для того, чтобы тело стало искусственным спутником планеты. Формула первой космической скорости выглядит следующим образом:
[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} ]
где ( G ) — гравитационная постоянная, ( M ) — масса планеты, ( R ) — радиус планеты.
Из условия задачи известно, что ( v_1 = 2 ) км/с (или ( 2000 ) м/с), ( M = 10^{23} ) кг. Гравитационная постоянная ( G ) примерно равна ( 6.674 \times 10^{-11} ) м³/кг/с². Подставим эти значения в формулу и найдем ( R ):
[ 2000 = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 10^{23}}{R}} ]
[ 2000^2 = \frac{6.674 \times 10^{12}}{R} ]
[ R = \frac{6.674 \times 10^{12}}{4000000} ]
[ R \approx 1.6685 \times 10^{6} \, \text{метров} ]
Переводим метры в километры:
[ R \approx 1668.5 \, \text{км} ]
Таким образом, радиус планеты примерно равен 1668.5 километрам.
Для ответа на данный вопрос мы можем использовать законы Ньютона и формулу для определения скорости падения свободного тела.
Сначала определим ускорение свободного падения на данной планете. Ускорение свободного падения зависит от массы планеты и её радиуса. По закону всемирного тяготения Ньютона ускорение свободного падения равно умножению гравитационной постоянной G на массу планеты и делению этого значения на квадрат радиуса планеты. Таким образом, ускорение свободного падения на данной планете составляет около 10 м/c^2.
Теперь используем формулу для определения скорости падения свободного тела: v = gt, где v - скорость падения, g - ускорение свободного падения, t - время падения. Для того чтобы летательный аппарат развил скорость 2 км/c, время падения должно составить 2000 м/c : 10 м/c^2 = 200 c.
Теперь можем определить радиус планеты, используя формулу для определения времени падения свободного тела до поверхности планеты: t = sqrt(2h/g), где h - высота, с которой падает тело. Поскольку летательный аппарат вылетает с поверхности планеты, то h равно радиусу планеты. Подставляем известные значения и находим, что радиус планеты составляет примерно 2000 км.
Таким образом, радиус данной планеты составляет около 2000 км.
