Два шара движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Масса первого шара 1 кг. Какую массу должен иметь второй шар, чтобы после столкновения первый шар остановился, а второй покатился назад с прежней скоростью?
Два шара движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Масса первого шара 1 кг. Какую массу должен иметь второй шар, чтобы после столкновения первый шар остановился, а второй покатился назад с прежней скоростью?
Пусть скорость шаров до столкновения равна v. После столкновения первый шар остановится, а второй шар будет двигаться в обратном направлении со скоростью v.
Применим законы сохранения импульса и кинетической энергии:
1) Закон сохранения импульса: m1 v - m2 v = 0, где m1 - масса первого шара, m2 - масса второго шара.
2) Закон сохранения кинетической энергии: (1/2) m1 v^2 = (1/2) m2 v^2, где v - скорость шаров до столкновения.
Решим систему уравнений:
m1 v - m2 v = 0, m1 = m2.
Таким образом, масса второго шара должна быть равна массе первого шара, то есть 1 кг, чтобы после столкновения первый шар остановился, а второй покатился назад с прежней скоростью.
Рассмотрим задачу о лобовом столкновении двух шаров. Пусть первый шар имеет массу ( m_1 = 1 ) кг и движется с начальной скоростью ( v_1 ). Второй шар имеет массу ( m_2 ) и движется навстречу первому с той же скоростью, но в противоположном направлении, то есть с начальной скоростью ( v_2 = -v_1 ).
После столкновения первый шар должен остановиться, то есть его конечная скорость ( v_1' ) должна быть равна 0. Второй шар должен покатиться назад с прежней скоростью, то есть его конечная скорость ( v_2' ) должна быть равна ( v_1 ).
Для анализа этой задачи используем два основных закона механики: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии (если столкновение абсолютно упругое).
Импульс системы до столкновения должен быть равен импульсу системы после столкновения. Запишем это математически:
[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'. ]
Подставим известные значения:
[ 1 \cdot v_1 + m_2 \cdot (-v_1) = 1 \cdot 0 + m_2 \cdot v_1. ]
Сократим на ( v_1 ):
[ 1 - m_2 = m_2. ]
Решим это уравнение относительно ( m_2 ):
[ 1 = 2m_2, ]
[ m_2 = \frac{1}{2} \text{ кг}. ]
Для абсолютно упругого столкновения также выполняется закон сохранения кинетической энергии:
[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2. ]
Подставим известные значения:
[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_1^2. ]
Сократим на ( \frac{1}{2} v_1^2 ):
[ 1 + m_2 = m_2. ]
Это уравнение тривиально выполняется, так как предполагает, что обе стороны равны ( m_2 ).
Таким образом, для того чтобы первый шар остановился, а второй покатился назад с прежней скоростью, масса второго шара ( m_2 ) должна быть равна ( \frac{1}{2} ) кг.
