Гирька массой 100 г, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью 10 рад/с по окружности...

Для решения задачи давайте разберём её поэтапно, анализируя силы, действующие на гирьку, и используя законы физики.

Дано:

1. Масса гирьки ( m = 100 \, \text{г} = 0{,}1 \, \text{кг} ).
2. Угловая скорость ( \omega = 10 \, \text{рад/с} ).
3. Угол между шнуром и вертикалью ( \theta = 60^\circ ).
4. Жёсткость шнура ( k = 40 \, \text{Н/м} ).

Нужно найти длину нерастянутого шнура ( l_0 ).

1. Силы, действующие на гирьку

На гирьку действуют следующие силы:

• Сила натяжения шнура ( T ).
• Сила тяжести ( F_g = mg ), направленная вертикально вниз.
• Центробежная сила ( F_c ), связанная с вращением гирьки, направлена горизонтально, от центра окружности.

Сила натяжения шнура ( T ) имеет два компонента:

• Вертикальная компонента ( T_y = T \cos \theta ), которая уравновешивает силу тяжести ( F_g ).
• Горизонтальная компонента ( T_x = T \sin \theta ), которая обеспечивает центробежную силу ( F_c ).

2. Уравнения динамики

Вертикальное равновесие

Вертикальная компонента силы натяжения уравновешивает силу тяжести: [ T \cos \theta = mg. ]

Отсюда выражаем силу натяжения ( T ): [ T = \frac{mg}{\cos \theta}. ]

Горизонтальное движение

Центробежная сила определяется выражением: [ F_c = m \omega^2 R, ] где ( R ) — горизонтальный радиус окружности (проекция длины шнура на горизонтальную плоскость). Из геометрии видно, что [ R = L \sin \theta, ] где ( L ) — растянутая длина шнура.

Горизонтальная компонента силы натяжения уравновешивает центробежную силу: [ T \sin \theta = m \omega^2 R. ]

Подставляем ( R = L \sin \theta ) в уравнение: [ T \sin \theta = m \omega^2 (L \sin \theta). ]

Сокращаем на ( \sin \theta ) (при условии ( \sin \theta \neq 0 )): [ T = m \omega^2 L. ]

3. Найдём растянутую длину шнура ( L )

Теперь у нас есть два выражения для силы натяжения ( T ):

1. ( T = \frac{mg}{\cos \theta} ),
2. ( T = m \omega^2 L ).

Приравниваем их: [ \frac{mg}{\cos \theta} = m \omega^2 L. ]

Сокращаем на ( m ) (масса гирьки не равна нулю): [ \frac{g}{\cos \theta} = \omega^2 L. ]

Выражаем ( L ): [ L = \frac{g}{\omega^2 \cos \theta}. ]

Подставляем значения: [ g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2, \, \omega = 10 \, \text{рад/с}, \, \cos 60^\circ = 0{,}5. ]

[ L = \frac{9{,}8}{10^2 \cdot 0{,}5} = \frac{9{,}8}{50} = 0{,}196 \, \text{м}. ]

Итак, растянутая длина шнура: [ L = 0{,}196 \, \text{м}. ]

4. Связь растянутой и нерастянутой длины

Растяжение шнура определяется законом Гука: [ \Delta L = L - l_0 = \frac{T}{k}. ]

Выражаем силу натяжения ( T = \frac{mg}{\cos \theta} ) и подставляем в формулу: [ \Delta L = \frac{\frac{mg}{\cos \theta}}{k}. ]

Подставляем значения: [ \Delta L = \frac{\frac{0{,}1 \cdot 9{,}8}{0{,}5}}{40} = \frac{\frac{0{,}98}{0{,}5}}{40} = \frac{1{,}96}{40} = 0{,}049 \, \text{м}. ]

Теперь найдём длину нерастянутого шнура: [ l_0 = L - \Delta L = 0{,}196 - 0{,}049 = 0{,}147 \, \text{м}. ]

Ответ:

Длина нерастянутого шнура: [ l_0 = 0{,}147 \, \text{м}. ]

Для решения задачи воспользуемся уравнением для центростремительного ускорения и законом Гука.

1. Определим силы, действующие на гирьку. Сила тяжести ( F_g = mg = 0.1 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 0.981 \, \text{Н} ).
2. В вертикальном направлении у нас есть равновесие между силой тяжести и вертикальной составляющей натяжения шнура: [ T \cos(60°) = F_g \implies T \cos(60°) = 0.981 \, \text{Н} \implies T \cdot 0.5 = 0.981 \, \text{Н} \implies T = 1.962 \, \text{Н} ]

3. В горизонтальном направлении центростремительная сила вызвана горизонтальной составляющей натяжения шнура: [ T \sin(60°) = m \cdot a_c \implies T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = m \cdot \omega^2 r ] где ( a_c = r \omega^2 ) — центростремительное ускорение.

4. Используя ( T = 1.962 \, \text{Н} ): [ 1.962 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.1 \cdot (10^2) \cdot r \implies 1.962 \cdot 0.866 = 0.1 \cdot 100 \cdot r ] [ 1.698 = 10 r \implies r = 0.1698 \, \text{м} ]

5. Теперь найдём длину шнура ( L ) с учётом угла: [ L = \frac{r}{\sin(60°)} = \frac{0.1698}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0.196 \, \text{м} ]

Итак, длина нерастянутого шнура составляет примерно 0.196 м.

Для решения задачи необходимо использовать физические принципы, связанные с центростремительным движением и упругими свойствами шнура. Начнем с анализа сил, действующих на гирьку.

1. Силы, действующие на гирьку:

   • Сила тяжести ( F_g = mg ), где ( m = 0.1 \, \text{кг} ) (масса гирьки) и ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ) (ускорение свободного падения).
   • Упругая сила ( F_k = k \cdot x ), где ( k = 40 \, \text{Н/м} ) (жесткость шнура), а ( x ) — удлинение шнура.
   • Центростремительная сила, необходимая для поддержания кругового движения гирьки.

2. Расчет силы тяжести: [ F_g = mg = 0.1 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 0.981 \, \text{Н} ]

3. Разложение сил: Гирька находится в равновесии, поэтому сумма сил в вертикальном и горизонтальном направлениях равна нулю.

   В вертикальном направлении: [ F_k \cdot \cos(60^\circ) = F_g ] В горизонтальном направлении: [ F_k \cdot \sin(60^\circ) = \frac{mv^2}{r} ] где ( r ) — радиус горизонтального кругового движения, а ( v ) — линейная скорость гирьки. Линейную скорость можно выразить через угловую скорость: [ v = \omega r ] где ( \omega = 10 \, \text{рад/с} ).

4. Удлинение шнура: Учитывая, что упругая сила ( F_k = k \cdot x ) и что шнур образует угол 60° с вертикалью, мы можем выразить удлинение шнура ( x ) через длину нерастянутого шнура ( L ): [ L + x = l ] где ( l ) — общая длина шнура.

5. Система уравнений: Подставим значение силы тяжести в уравнение для вертикальных компонент: [ k \cdot x \cdot \cos(60^\circ) = 0.981 ] [ 40 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 0.981 \quad \Rightarrow \quad 20x = 0.981 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{0.981}{20} \approx 0.04905 \, \text{м} ]

   Теперь подставим ( F_k ) в уравнение для горизонтальных компонент: [ k \cdot x \cdot \sin(60^\circ) = \frac{m(\omega r)^2}{r} ] [ k \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = m \omega^2 r ] Подставим значения: [ 40 \cdot 0.04905 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.1 \cdot 10^2 \cdot r ] [ 0.981 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot r ] [ r = 0.981 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.849 \, \text{м} ]

6. Длина нерастянутого шнура: Теперь можно найти длину нерастянутого шнура: [ l = \frac{r}{\sin(60^\circ)} = \frac{0.849}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0.980 \, \text{м} ]

Таким образом, длина нерастянутого шнура составляет приблизительно ( 0.980 \, \text{м} ).