Груз массой 10 кг с помощью троса поднимают вертикально вверх на высоту 8 метров за промежуток времени...

Давайте разберем решение задачи пошагово.

Дано:

1. Масса груза: ( m = 10 \, \text{кг} ),
2. Высота подъема: ( h = 8 \, \text{м} ),
3. Время подъема: ( t = 4 \, \text{с} ),
4. Начальная скорость: ( v_0 = 0 \, \text{м/с} ),
5. Жесткость троса: ( k = 2.2 \times 10^5 \, \text{Н/м} ).

Требуется найти:

1. Модуль силы упругости ( F_\text{упр} ),
2. Удлинение троса ( \Delta L ).

1. Определим ускорение подъема груза

Груз поднимается равнозамедленно или равноускоренно, так как начальная скорость равна нулю. Используем уравнение кинематики для равномерно ускоренного движения:

[ h = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ]

Подставим известные значения (( v_0 = 0 )):

[ 8 = \frac{1}{2} a (4^2) ]

[ 8 = \frac{1}{2} a \cdot 16 ]

[ 8 = 8a ]

[ a = 1 \, \text{м/с}^2 ]

Ускорение подъема груза равно ( a = 1 \, \text{м/с}^2 ).

2. Найдем полную силу натяжения троса

На груз действуют две силы:

• Сила тяжести ( F_\text{тяж} = m g ),
• Сила, необходимая для обеспечения ускорения груза вверх ( F_\text{ускор} = m a ).

Полная сила натяжения троса:

[ F\text{трос} = F\text{тяж} + F_\text{ускор}, ]

где ( g ) — ускорение свободного падения (( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 )).

Подставим значения:

[ F_\text{трос} = m g + m a = 10 \cdot 9.8 + 10 \cdot 1 ]

[ F_\text{трос} = 98 + 10 = 108 \, \text{Н}. ]

3. Найдем удлинение троса ( \Delta L )

Сила упругости троса определяется по закону Гука:

[ F_\text{упр} = k \Delta L, ]

где ( \Delta L ) — удлинение троса, ( k ) — жесткость троса.

Преобразуем формулу для ( \Delta L ):

[ \Delta L = \frac{F_\text{упр}}{k}. ]

Подставим значения:

[ \Delta L = \frac{108}{2.2 \times 10^5}. ]

Посчитаем:

[ \Delta L = \frac{108}{220000} \approx 0.000491 \, \text{м}. ]

Удлинение троса: ( \Delta L \approx 0.000491 \, \text{м} ) или ( 0.491 \, \text{мм} ).

Ответ:

1. Модуль силы упругости троса: ( F_\text{упр} = 108 \, \text{Н} ),
2. Удлинение троса: ( \Delta L \approx 0.000491 \, \text{м} ) или ( 0.491 \, \text{мм} ).

Чтобы определить модуль силы упругости троса и его удлинение, начнём с расчёта силы, необходимой для подъёма груза.

1. Сила тяжести (mg): [ F_{\text{тяжести}} = m \cdot g = 10 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 98.1 \, \text{Н} ]

2. Ускорение (a): Груз поднимается вертикально с постоянным ускорением. Для этого используем формулу перемещения: [ h = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ] Поскольку начальная скорость ( v_0 = 0 ): [ 8 = \frac{1}{2} a (4^2) \Rightarrow 8 = 8a \Rightarrow a = 1 \, \text{м/с}^2 ]

3. Полная сила (F): Сила, действующая на груз, равна сумме силы тяжести и силы, необходимой для создания ускорения: [ F = F_{\text{тяжести}} + m \cdot a = 98.1 \, \text{Н} + 10 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{м/с}^2 = 108.1 \, \text{Н} ]

4. Сила упругости (F_{\text{упр}}): Сила упругости троса равна найденной силе (так как трос не рвётся и не деформируется): [ F_{\text{упр}} = 108.1 \, \text{Н} ]

5. Удлинение (ΔL): Используем закон Гука: [ F{\text{упр}} = k \cdot \Delta L \Rightarrow \Delta L = \frac{F{\text{упр}}}{k} = \frac{108.1 \, \text{Н}}{2.2 \times 10^5 \, \text{Н/м}} \approx 0.000491 \, \text{м} = 0.491 \, \text{мм} ]

Ответ:

• Модуль силы упругости троса: ( 108.1 \, \text{Н} )
• Удлинение троса: ( 0.491 \, \text{мм} )

Для решения задачи начнем с определения основных физических величин и применения законов механики.

1. Определение ускорения груза: Груз массой ( m = 10 \, \text{кг} ) поднимается на высоту ( h = 8 \, \text{м} ) за время ( t = 4 \, \text{с} ). Мы можем найти ускорение ( a ) груза, используя формулу для перемещения с постоянным ускорением:

   [ h = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ]

   Поскольку начальная скорость ( v_0 = 0 ), упростим уравнение:

   [ h = \frac{1}{2} a t^2 ]

   Подставим известные значения:

   [ 8 = \frac{1}{2} a (4^2) ] [ 8 = \frac{1}{2} a (16) ] [ 8 = 8a ] [ a = 1 \, \text{м/с}^2 ]

2. Определение силы, действующей на груз: При подъеме груза на него действуют две силы: сила тяжести ( F_g ) и сила натяжения троса ( F_t ). Сила тяжести определяется как:

   [ F_g = m g ]

   Где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )). Подставим значения:

   [ F_g = 10 \times 9.81 = 98.1 \, \text{Н} ]

   Используя второй закон Ньютона, можем записать:

   [ F_t - F_g = m a ]

   Подставим известные значения:

   [ F_t - 98.1 = 10 \times 1 ] [ F_t - 98.1 = 10 ] [ F_t = 108.1 \, \text{Н} ]

3. Определение модуля силы упругости троса: Сила натяжения троса равна силе упругости, действующей в тросе, поэтому:

   [ F_{\text{упр}} = F_t = 108.1 \, \text{Н} ]

4. Определение удлинения троса: Для определения удлинения троса используем закон Гука, который описывает зависимость силы упругости от удлинения:

   [ F_{\text{упр}} = k \Delta L ]

   Где ( k = 2.2 \times 10^5 \, \text{Н/м} ) — жесткость троса, ( \Delta L ) — удлинение. Подставим известные значения:

   [ 108.1 = 2.2 \times 10^5 \Delta L ]

   Найдем удлинение:

   [ \Delta L = \frac{108.1}{2.2 \times 10^5} \approx 0.000491 \, \text{м} = 0.491 \, \text{мм} ]

Таким образом, модуль силы упругости троса составляет 108.1 Н, а удлинение троса — 0.491 мм.