Как изменится сила притяжения между двумя однородными шарами, если расстояние между их центрами уменьшить в 2 раза? увеличить в 3 раза?
Как изменится сила притяжения между двумя однородными шарами, если расстояние между их центрами уменьшить в 2 раза? увеличить в 3 раза?
Сила притяжения между двумя однородными шарами определяется законом всемирного тяготения и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Сила притяжения между двумя телами описывается законом всемирного тяготения, который был сформулирован Исааком Ньютоном. Формула закона выглядит так:
[ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}, ]
где:
Согласно формуле, сила притяжения ( F ) обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами (( r^2 )). Это означает, что при изменении расстояния ( r ) сила притяжения изменяется в зависимости от квадрата этого изменения.
Теперь рассмотрим два предлагаемых случая:
Пусть начальное расстояние между центрами равно ( r ). Если расстояние уменьшить в 2 раза, то новое расстояние станет ( r' = \frac{r}{2} ).
Подставим это в формулу закона всемирного тяготения:
[ F' = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{(r')^2}. ]
Подставим ( r' = \frac{r}{2} ):
[ F' = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{\left( \frac{r}{2} \right)^2}. ]
Раскроем скобки:
[ F' = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{\frac{r^2}{4}}. ]
Умножим числитель и знаменатель на 4:
[ F' = 4 \cdot G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}. ]
Сравнивая это выражение с исходной силой ( F ), видим, что:
[ F' = 4F. ]
Итак, если расстояние уменьшить в 2 раза, сила притяжения увеличится в 4 раза.
Теперь новое расстояние будет ( r' = 3r ).
Подставим это в формулу закона всемирного тяготения:
[ F' = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{(r')^2}. ]
Подставим ( r' = 3r ):
[ F' = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{(3r)^2}. ]
Раскроем квадрат:
[ F' = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{9r^2}. ]
Сравнивая это выражение с исходной силой ( F ), видим, что:
[ F' = \frac{F}{9}. ]
Итак, если расстояние увеличить в 3 раза, сила притяжения уменьшится в 9 раз.
Это происходит из-за квадратичной зависимости силы притяжения от расстояния между телами.
Сила притяжения между двумя однородными шарами описывается законом всемирного тяготения, который был сформулирован Исааком Ньютоном. Этот закон гласит, что сила притяжения ( F ) между двумя телами пропорциональна произведению их масс ( m_1 ) и ( m_2 ) и обратно пропорциональна квадрату расстояния ( r ) между их центрами:
[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} ]
где ( G ) — гравитационная постоянная.
Если расстояние между центрами двух шаров уменьшается в 2 раза, то новое расстояние ( r' ) будет равно:
[ r' = \frac{r}{2} ]
Подставляя это значение в формулу для силы притяжения, получаем:
[ F' = G \frac{m_1 m_2}{(r/2)^2} = G \frac{m_1 m_2}{\frac{r^2}{4}} = 4G \frac{m_1 m_2}{r^2} = 4F ]
Таким образом, при уменьшении расстояния между центрами шаров в 2 раза сила притяжения увеличивается в 4 раза.
Если расстояние между центрами шаров увеличивается в 3 раза, то новое расстояние ( r'' ) будет равно:
[ r'' = 3r ]
Подставляя это значение в формулу для силы притяжения, получаем:
[ F'' = G \frac{m_1 m_2}{(3r)^2} = G \frac{m_1 m_2}{9r^2} = \frac{1}{9} G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{1}{9} F ]
Таким образом, при увеличении расстояния между центрами шаров в 3 раза сила притяжения уменьшается в 9 раз.
Эти результаты подчеркивают важность расстояния в законе всемирного тяготения: сила притяжения значительно меняется даже при относительно небольших изменениях в расстоянии.
