Камень брошен с высоты 28 м вертикально вверх с начальной скоростью 8 м/с. Найдите скорость при ударе...

Для решения задачи необходимо учитывать два этапа движения камня: подъем вверх и падение вниз.

Этап 1: Подъем

Камень брошен вверх с начальной скоростью ( v_0 = 8 \, \text{м/с} ) с высоты ( h_0 = 28 \, \text{м} ). На этом этапе камень поднимается до максимальной высоты, где его скорость станет равной нулю.

Мы можем использовать закон сохранения энергии или уравнение движения для расчета максимальной высоты.

Уравнение движения: На высоте ( h ) скорость камня равна нулю. Используем уравнение с учетом ускорения свободного падения ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ):

[ v^2 = v_0^2 - 2g h ]

где ( v ) — конечная скорость (в данном случае 0), ( h ) — высота, на которую поднимется камень.

Подставим значения:

[ 0 = (8 \, \text{м/с})^2 - 2 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot h ]

Решим уравнение для ( h ):

[ 64 = 19.62h ] [ h = \frac{64}{19.62} \approx 3.26 \, \text{м} ]

Теперь вычислим максимальную высоту ( H ), которую достигнет камень, добавив начальную высоту:

[ H = h_0 + h = 28 \, \text{м} + 3.26 \, \text{м} \approx 31.26 \, \text{м} ]

Этап 2: Падение

Теперь камень начинает падать с высоты ( H ) и мы можем использовать закон сохранения энергии или уравнение движения, чтобы найти скорость при ударе о землю.

Мы можем снова использовать уравнение движения, но теперь будем считать, что начальная скорость ( v_0 = 0 ) и высота, с которой он падает, равна ( H ):

[ v^2 = v_0^2 + 2gH ] [ v^2 = 0 + 2 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 31.26 \, \text{м} ]

Теперь подставим значения:

[ v^2 = 2 \cdot 9.81 \cdot 31.26 \approx 613.73 ]

Найдём ( v ):

[ v = \sqrt{613.73} \approx 24.77 \, \text{м/с} ]

Ответ

Таким образом, скорость камня при ударе о землю составляет примерно ( 24.77 \, \text{м/с} ).

Рассмотрим задачу на движение камня, брошенного вертикально вверх, с учетом начальной скорости и силы тяжести.

Дано:

• Начальная высота ( h_0 = 28 \, \text{м} ),
• Начальная скорость ( v_0 = 8 \, \text{м/с} ),
• Ускорение свободного падения ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 ),
• Найти скорость камня ( v ) в момент удара о землю.

Решение:

Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Он позволяет учитывать движение тела, игнорируя промежуточные этапы, как, например, время подъема и спуска. Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия системы сохраняется, если отсутствуют силы трения:

[ E{нач} = E{кон}. ]

Полная механическая энергия состоит из кинетической энергии (( E_k = \frac{mv^2}{2} )) и потенциальной энергии (( E_p = mgh )). На начальном этапе у камня есть как кинетическая энергия (из-за начальной скорости ( v_0 )), так и потенциальная энергия (из-за высоты ( h_0 )). В момент удара о землю вся потенциальная энергия становится нулевой, а вся энергия системы будет представлена только кинетической энергией.

Итак, запишем:

[ \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv^2}{2}. ]

Здесь:

• ( m ) — масса камня (она сокращается, так как присутствует во всех частях уравнения),
• ( v_0 = 8 \, \text{м/с} ) — начальная скорость,
• ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения,
• ( h_0 = 28 \, \text{м} ) — начальная высота,
• ( v ) — скорость в момент удара о землю (неизвестная величина).

Сократим ( m ) и выразим ( v ):

[ \frac{v_0^2}{2} + gh_0 = \frac{v^2}{2}. ]

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

[ v_0^2 + 2gh_0 = v^2. ]

Подставим численные значения:

[ 8^2 + 2 \cdot 9{,}8 \cdot 28 = v^2, ]

[ 64 + 548{,}8 = v^2, ]

[ v^2 = 612{,}8. ]

Теперь найдем ( v ), взяв квадратный корень:

[ v = \sqrt{612{,}8} \approx 24{,}76 \, \text{м/с}. ]

Ответ:

Скорость камня в момент удара о землю составляет примерно 24,76 м/с.

Пояснение:

При расчете использовался закон сохранения энергии, который позволяет учитывать преобразования энергии во время движения. Начальная энергия включала как кинетическую, так и потенциальную составляющие, а в конце вся энергия преобразовалась в кинетическую. Это позволило обойтись без вычисления времени движения или промежуточных скоростей.