Камень массой 1 кг брошен вертикально вверх, его начальная скорость - 10 м/с. На какой высоте скорость...

Для решения данной задачи используем уравнение кинетической энергии:

(E = E{\text{к}} + E{\text{п}}),

где (E{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}) - кинетическая энергия камня, (E{\text{п}} = mgh) - потенциальная энергия камня, (m) - масса камня, (v) - скорость камня, (h) - высота камня над землей.

При броске камня вверх его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную, поэтому кинетическая энергия камня при броске будет равна его потенциальной энергии на любой высоте над землей.

Итак, у нас есть два уравнения:

1. (E{\text{к}} = \frac{mv{\text{нач}}^2}{2} = \frac{1 \cdot 10^2}{2} = 50 \, \text{Дж}),
2. (E_{\text{п}} = mgh = 1 \cdot 10 \cdot h = 10h \, \text{Дж}).

Поскольку кинетическая энергия камня равняется его потенциальной энергии на любой высоте, то при (v = 8 \, \text{м/с}) имеем:

(\frac{mv^2}{2} = mgh),

(\frac{1 \cdot 8^2}{2} = 10h),

(32 = 10h),

(h = 3,2 \, \text{м}).

Таким образом, скорость камня будет равна 8 м/с на высоте 3,2 м над землей.

На высоте около 3 метров.

Для решения этого вопроса воспользуемся законами кинематики и принципом сохранения энергии.

1. Использование кинематических уравнений:

   Начальная скорость камня ( v_0 = 10 ) м/с. Конечная скорость камня ( v = 8 ) м/с. Ускорение свободного падения ( g = 9.8 ) м/с² (направлено вниз).

   Применим кинематическое уравнение: [ v^2 = v_0^2 - 2gh ] где ( h ) — высота, на которой скорость камня будет равна ( v ).

   Подставим известные значения: [ (8 \ \text{м/с})^2 = (10 \ \text{м/с})^2 - 2 \cdot 9.8 \ \text{м/с}^2 \cdot h ]

   Решим это уравнение для ( h ): [ 64 = 100 - 19.6h ] [ 19.6h = 100 - 64 ] [ 19.6h = 36 ] [ h = \frac{36}{19.6} ] [ h \approx 1.84 \ \text{м} ]

2. Использование принципа сохранения энергии:

   Начальная кинетическая энергия камня: [ E_{кин0} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \ \text{кг} \cdot (10 \ \text{м/с})^2 = 50 \ \text{Дж} ]

   Кинетическая энергия камня на высоте ( h ): [ E_{кин} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \ \text{кг} \cdot (8 \ \text{м/с})^2 = 32 \ \text{Дж} ]

   Разность кинетической энергии будет равна потенциальной энергии на высоте ( h ): [ E_{пот} = mgh ]

   Потенциальная энергия на высоте ( h ): [ E{пот} = E{кин0} - E_{кин} = 50 \ \text{Дж} - 32 \ \text{Дж} = 18 \ \text{Дж} ]

   Найдем высоту ( h ): [ 18 \ \text{Дж} = 1 \ \text{кг} \cdot 9.8 \ \text{м/с}^2 \cdot h ] [ h = \frac{18 \ \text{Дж}}{9.8 \ \text{м/с}^2} ] [ h \approx 1.84 \ \text{м} ]

Итак, скорость камня будет равна 8 м/с на высоте примерно ( 1.84 ) метра.