Камень массой 1 кг брошен вертикально вверх, его начальная скорость - 10 м/с. На какой высоте скорость...

Для решения данной задачи используем уравнение кинетической энергии:

(E = E{\text{к}} + E{\text{п}}),

где (E{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}) - кинетическая энергия камня, (E{\text{п}} = mgh) - потенциальная энергия камня, $m$ - масса камня, $v$ - скорость камня, $h$ - высота камня над землей.

При броске камня вверх его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную, поэтому кинетическая энергия камня при броске будет равна его потенциальной энергии на любой высоте над землей.

Итак, у нас есть два уравнения:

1. (E{\text{к}} = \frac{mv{\text{нач}}^2}{2} = \frac{1 \cdot 10^2}{2} = 50 \, \text{Дж}),
2. $E_{\text{п}}=mgh=1\cdot 10\cdot h=10h\text{Дж}$.

Поскольку кинетическая энергия камня равняется его потенциальной энергии на любой высоте, то при $v=8\text{м/с}$ имеем:

$\frac{m{v}^2}{2}=mgh$,

$\frac{1\cdot 8^2}{2}=10h$,

$32=10h$,

$h=3,2\text{м}$.

Таким образом, скорость камня будет равна 8 м/с на высоте 3,2 м над землей.

На высоте около 3 метров.

Для решения этого вопроса воспользуемся законами кинематики и принципом сохранения энергии.

1. Использование кинематических уравнений:

   Начальная скорость камня $v_0=10$ м/с. Конечная скорость камня $v=8$ м/с. Ускорение свободного падения $g=9.8$ м/с² $направленовниз$.

   Применим кинематическое уравнение: $v^2=v_0^2-2gh$ где $h$ — высота, на которой скорость камня будет равна $v$.

   Подставим известные значения: $(8\text{м/с}{)}^2=(10\text{м/с}{)}^2-2\cdot 9.8{\text{м/с}}^2\cdot h$

   Решим это уравнение для $h$: $64=100-19.6h$ $19.6h=100-64$ $19.6h=36$ $h=\frac{36}{19.6}$ $h\approx 1.84\text{м}$

2. Использование принципа сохранения энергии:

   Начальная кинетическая энергия камня: $E_{кин0}=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 1\text{кг}\cdot (10\text{м/с}{)}^2=50\text{Дж}$

   Кинетическая энергия камня на высоте $h$: $E_{кин}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\cdot 1\text{кг}\cdot (8\text{м/с}{)}^2=32\text{Дж}$

   Разность кинетической энергии будет равна потенциальной энергии на высоте $h$: $E_{пот}=mgh$

   Потенциальная энергия на высоте $h$: [ E{пот} = E{кин0} - E_{кин} = 50 \ \text{Дж} - 32 \ \text{Дж} = 18 \ \text{Дж} ]

   Найдем высоту $h$: $18\text{Дж}=1\text{кг}\cdot 9.8{\text{м/с}}^2\cdot h$ $h=\frac{18\text{Дж}}{9.8{\text{м/с}}^2}$ $h\approx 1.84\text{м}$

Итак, скорость камня будет равна 8 м/с на высоте примерно $1.84$ метра.