Катер переправляется через реку. Скорость течения равна 3 м/с, скорость катера в стоячей воде — 6 м/с....

Если катер переплывает реку по кратчайшему пути, то он должен двигаться перпендикулярно берегу реки. В таком случае, вектор скорости катера относительно воды должен компенсировать вектор скорости течения реки, чтобы результирующий вектор направления движения катера был направлен строго от одного берега к другому.

Для этого рассмотрим следующее:

• Скорость течения реки (Vр) равна 3 м/с и направлена вдоль реки.
• Скорость катера относительно воды (Vк) равна 6 м/с.

Катер должен направить свою скорость так, чтобы суммарный вектор его движения относительно земли был перпендикулярен берегу реки. Пусть угол между вектором скорости катера относительно воды и вектором скорости течения реки равен θ.

Применим теорему Пифагора к векторам скоростей: [ V{\text{рез}}^2 = V{\text{к}}^2 - V{\text{р}}^2 ] где ( V{\text{рез}} ) — это скорость катера относительно берега, которая должна быть направлена перпендикулярно к направлению течения реки. Поскольку катер движется перпендикулярно к течению, его скорость относительно берега будет равна: [ V{\text{рез}} = \sqrt{V{\text{к}}^2 - V_{\text{р}}^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{м/с} ]

Теперь найдем угол θ, используя определение косинуса: [ \cos \theta = \frac{\text{смежная сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{V{\text{р}}}{V{\text{к}}} = \frac{3}{6} = 0.5 ]

Угол, косинус которого равен 0.5, составляет 60 градусов.

Таким образом, угол между вектором скорости катера относительно воды и вектором скорости течения равен 60 градусов.

Для определения угла между векторами скорости катера относительно воды и скорости течения необходимо использовать понятие векторного сложения скоростей.

Пусть ( \vec{V}_k ) - вектор скорости катера относительно воды, ( \vec{V}t ) - вектор скорости течения, ( \vec{V}{\text{рез}} ) - результирующий вектор скорости катера относительно берега.

По условию, скорость катера относительно воды равна 6 м/с, а скорость течения равна 3 м/с. Тогда вектор скорости катера относительно берега равен сумме векторов скорости катера относительно воды и скорости течения:

[ \vec{V}_{\text{рез}} = \vec{V}_k + \vec{V}_t ]

[ \vec{V}_{\text{рез}} = 6\hat{i} + 3\hat{j} ]

Угол между векторами скорости катера относительно воды и скорости течения можно найти используя скалярное произведение векторов:

[ \cos{\theta} = \frac{\vec{V}_k \cdot \vec{V}_t}{|\vec{V}_k||\vec{V}_t|} ]

[ \cos{\theta} = \frac{60 + 31}{\sqrt{6^2+3^2}*\sqrt{1^2}} ]

[ \cos{\theta} = \frac{3}{\sqrt{45}} ]

[ \theta = \arccos{\frac{3}{\sqrt{45}}} ]

[ \theta \approx 54.74^\circ ]

Таким образом, угол между векторами скорости катера относительно воды и скорости течения равен приблизительно 54.74 градуса.