Колесо, радиус которого 40 см, катится по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. Определите скорости...

Для колеса радиусом 40 см, которое катится со скоростью 2 м/с, можем рассчитать скорости и ускорения точек на вертикальном и горизонтальном диаметрах.

1. Скорость точки, находящейся на верхней части колеса (вертикальный диаметр):

   • Скорость колеса = 2 м/с (вперёд).
   • Скорость верхней точки = скорость колеса + скорость вращения (равная скорости колесо при вращении): 2 м/с + 2 м/с = 4 м/с (вперёд).

2. Скорость точки, находящейся на нижней части колеса (вертикальный диаметр):

   • Скорость нижней точки = скорость колеса - скорость вращения: 2 м/с - 2 м/с = 0 м/с (на месте).

3. Скорость точки, находящейся на правой части колеса (горизонтальный диаметр):

   • Эта точка движется с той же скоростью, что и колеса, но также имеет компоненту вращения: 2 м/с (вперёд) + 2 м/с (вправо) = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2.83 м/с (по диагонали).

4. Скорость точки, находящейся на левой части колеса (горизонтальный диаметр):

   • Эта точка движется с той же скоростью, что и колеса, но имеет компоненту вращения: 2 м/с (вперёд) - 2 м/с (влево) = 0 м/с (на месте).

Ускорения:

• Для всех точек на краях колеса (верхней, нижней, правой и левой) центростремительное ускорение будет направлено к центру колеса и равно ( a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2)^2}{0.4} = 10 \, \text{м/с}^2 ).

Таким образом:

• Верхняя точка: скорость 4 м/с, ускорение 10 м/с² вниз.
• Нижняя точка: скорость 0 м/с, ускорение 10 м/с² вверх.
• Правая точка: скорость примерно 2.83 м/с, ускорение 10 м/с² к центру.
• Левая точка: скорость 0 м/с, ускорение 10 м/с² к центру.

Чтобы определить скорости и ускорения точек на вертикальном и горизонтальном диаметрах колеса, начнем с основных понятий.

Данные:

• Радиус колеса ( R = 40 ) см = 0,4 м.
• Линейная скорость центра колеса ( V_c = 2 ) м/с.

Скорости точек на колесе

1. Точка на горизонтальном диаметре:

   • Рассмотрим точку, находящуюся на горизонтальном диаметре, скажем, внизу колеса (точка A).
   • Она движется вместе с колесом, а также имеет скорость, которая зависит от вращения колеса. При катании колеса точка A в момент контакта с дорогой имеет скорость, равную скорости центра колеса, но направлена вниз (относительно дороги).
   • Таким образом, скорость точки A будет ( V_A = Vc - V{rot} ), где ( V_{rot} ) — скорость вращения точки A.
   • Скорость вращения точки A можно вычислить как ( V_{rot} = R \cdot \omega ), где ( \omega ) — угловая скорость колеса.
   • Угловая скорость ( \omega ) определяется как ( \omega = \frac{V_c}{R} = \frac{2}{0,4} = 5 ) рад/с.
   • Тогда ( V_{rot} = 0,4 \cdot 5 = 2 ) м/с.

   • Подставим в формулу: ( V_A = 2 - 2 = 0 ) м/с (в точке контакта с дорогой).

   • Теперь рассмотрим точку вверху колеса (точка B).

   • В этой точке скорость будет складываться с линейной скоростью центра колеса: ( V_B = Vc + V{rot} = 2 + 2 = 4 ) м/с.

2. Точка на вертикальном диаметре:

   • Рассмотрим точку, находящуюся на вертикальном диаметре, скажем, слева от центра колеса (точка C).
   • Эта точка будет двигаться с некоторой скоростью, которая равна скорости центра колеса в горизонтальном направлении и добавляет скорость вращения вокруг вертикальной оси.
   • Угловая скорость ( \omega ) была рассчитана ранее (5 рад/с). Скорость точки C от вращения: ( V_{rot} = R \cdot \omega = 0,4 \cdot 5 = 2 ) м/с (направлена вверх).
   • Скорость точки C будет равна ( V_C = Vc - V{rot} = 2 - 2 = 0 ) м/с.

Ускорения точек на колесе

1. Ускорение точки A (внизу):

   • Указанное ускорение состоит из центростремительного и тангенциального ускорений. В данный момент тангенциальное ускорение равно нулю, так как скорость постоянная.
   • Центростремительное ускорение ( a_c = \frac{V^2}{R} = \frac{2^2}{0,4} = \frac{4}{0,4} = 10 ) м/с² (направлено к центру колеса).

2. Ускорение точки B (вверху):

   • Аналогично, у точки B тангенциальное ускорение равно нулю.
   • Центростремительное ускорение также равно 10 м/с² (направлено к центру колеса).

3. Ускорение точки C (слева):

   • Ускорение точки C также будет равно 10 м/с², направлено к центру колеса.

Итоговые значения:

• Точка A (внизу):

  • Скорость: 0 м/с
  • Ускорение: 10 м/с² (вверх, к центру колеса)

• Точка B (вверху):

  • Скорость: 4 м/с
  • Ускорение: 10 м/с² (вниз, к центру колеса)

• Точка C (слева):

  • Скорость: 0 м/с
  • Ускорение: 10 м/с² (вправо, к центру колеса)

Таким образом, мы получили полное описание скоростей и ускорений точек на колесе.

Давайте разберём задачу подробно и по шагам:

Дано:

1. Радиус колеса (R = 40 \, \text{см} = 0.4 \, \text{м}).
2. Линейная скорость центра колеса (точки оси вращения) относительно дороги (v_{\text{Ц}} = 2 \, \text{м/с}).

Что нужно найти:

1. Скорости относительно дороги точек, находящихся:
   • на верхнем конце вертикального диаметра (точка (A));
   • на нижнем конце вертикального диаметра (точка (B));
   • на левом конце горизонтального диаметра (точка (C));
   • на правом конце горизонтального диаметра (точка (D)).
2. Ускорения этих точек.

Разбор движения колеса:

Колесо катится по горизонтальной дороге. Это движение можно представить как комбинацию двух типов движений:

1. Поступательное движение с линейной скоростью (v_{\text{Ц}} = 2 \, \text{м/с}). Оно одинаково для всех точек колеса.
2. Вращательное движение относительно центра колеса с угловой скоростью (\omega).

Связь между угловой скоростью (\omega) и линейной скоростью центра: [ \omega = \frac{v_{\text{Ц}}}{R}. ] Подставляем значения: [ \omega = \frac{2}{0.4} = 5 \, \text{рад/с}. ]

Вращение вызывает дополнительные скорости у точек колеса, которые зависят от их положения. Эти скорости направлены по касательной к окружности.

Скорости точек относительно дороги:

1. Точка (A): верхний конец вертикального диаметра

   • Поступательная скорость: (v_{\text{Ц}} = 2 \, \text{м/с}) (направлена вправо).
   • Скорость от вращения: (\omega R = 5 \cdot 0.4 = 2 \, \text{м/с}) (направлена вправо, так как точка (A) движется в том же направлении, что и поступательное движение центра).
   • Итоговая скорость точки (A): сумма поступательной и вращательной скоростей: [ vA = v{\text{Ц}} + \omega R = 2 + 2 = 4 \, \text{м/с}. ]

2. Точка (B): нижний конец вертикального диаметра

   • Поступательная скорость: (v_{\text{Ц}} = 2 \, \text{м/с}) (направлена вправо).
   • Скорость от вращения: (-\omega R = -2 \, \text{м/с}) (направлена влево, так как точка (B) движется против поступательного движения центра).
   • Итоговая скорость точки (B): разность поступательной и вращательной скоростей: [ vB = v{\text{Ц}} - \omega R = 2 - 2 = 0 \, \text{м/с}. ] Таким образом, точка (B) в момент касания дороги неподвижна относительно дороги.

3. Точка (C): левый конец горизонтального диаметра

   • Поступательная скорость: (v_{\text{Ц}} = 2 \, \text{м/с}) (направлена вправо).
   • Скорость от вращения: (-\omega R = -2 \, \text{м/с}) (направлена вниз, перпендикулярно поступательной скорости).
   • Итоговая скорость точки (C): складываем скорости по правилам сложения векторов. В данном случае скорости перпендикулярны, поэтому их модуль: [ vC = \sqrt{v{\text{Ц}}^2 + (\omega R)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.83 \, \text{м/с}. ] Направление: под углом (45^\circ) вниз-влево.

4. Точка (D): правый конец горизонтального диаметра

   • Поступательная скорость: (v_{\text{Ц}} = 2 \, \text{м/с}) (направлена вправо).
   • Скорость от вращения: (\omega R = 2 \, \text{м/с}) (направлена вверх, перпендикулярно поступательной скорости).
   • Итоговая скорость точки (D): аналогично точке (C), складываем скорости по правилам сложения векторов: [ vD = \sqrt{v{\text{Ц}}^2 + (\omega R)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.83 \, \text{м/с}. ] Направление: под углом (45^\circ) вверх-вправо.

Ускорения точек:

Ускорение имеет две составляющие:

1. Тангенциальное (касательное) ускорение, связанное с изменением скорости вращения. В данной задаче угловая скорость (\omega) постоянна, поэтому тангенциальное ускорение равно нулю.
2. Центростремительное ускорение, связанное с вращением точки вокруг центра колеса. Оно направлено к центру колеса и определяется формулой: [ a{\text{цс}} = \omega^2 R. ] Подставляем значения: [ a{\text{цс}} = 5^2 \cdot 0.4 = 25 \cdot 0.4 = 10 \, \text{м/с}^2. ]

Теперь разберём ускорения для каждой точки:

1. Для точки (A): направлено вниз к центру с величиной (10 \, \text{м/с}^2).
2. Для точки (B): направлено вверх к центру с величиной (10 \, \text{м/с}^2).
3. Для точки (C): направлено вправо к центру с величиной (10 \, \text{м/с}^2).
4. Для точки (D): направлено влево к центру с величиной (10 \, \text{м/с}^2).

Итог:

1. Скорости точек относительно дороги:

   • (v_A = 4 \, \text{м/с}) (вправо),
   • (v_B = 0 \, \text{м/с}),
   • (v_C \approx 2.83 \, \text{м/с}) (под углом (45^\circ) вниз-влево),
   • (v_D \approx 2.83 \, \text{м/с}) (под углом (45^\circ) вверх-вправо).

2. Ускорения точек:

   • (a_A = 10 \, \text{м/с}^2) (вниз),
   • (a_B = 10 \, \text{м/с}^2) (вверх),
   • (a_C = 10 \, \text{м/с}^2) (вправо),
   • (a_D = 10 \, \text{м/с}^2) (влево).