Маятник состоит из тяжелого шарика массой 100 г, подвешенного на нити длиной 50 см. Определите период...

Для решения задачи о колебаниях маятника нужно использовать формулы для периода и потенциальной энергии, учитывая, что маятник рассматривается как математический, что подразумевает отсутствие сопротивления воздуха и других потерь энергии.

Период колебаний маятника

Период ( T ) математического маятника в условиях малых углов (до примерно 15°) определяется формулой:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ]

где:

• ( L = 50 ) см = 0.5 м — длина нити,
• ( g \approx 9.81 ) м/с² — ускорение свободного падения.

Подставим значения:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{9.81}} ]

[ T \approx 2\pi \sqrt{0.05096} \approx 2\pi \times 0.2257 \approx 1.42 \text{ с} ]

Энергия маятника

Маятник обладает механической энергией, которая в точке максимального отклонения полностью представлена потенциальной энергией. Потенциальная энергия ( E ) в крайнем положении определяется как:

[ E = mgh ]

где:

• ( m = 100 ) г = 0.1 кг — масса шарика,
• ( h ) — высота, на которую поднимается шарик относительно положения равновесия.

Высоту ( h ) можно рассчитать через угол отклонения ( \theta = 15^\circ ) и длину нити ( L ), используя формулу:

[ h = L - L\cos(\theta) ]

Переведем угол в радианы: ( \theta = 15^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.2618 ) радиан.

Теперь найдём ( h ):

[ h = 0.5 - 0.5\cos(0.2618) \approx 0.5 - 0.5 \times 0.9659 \approx 0.5 - 0.48295 \approx 0.01705 \text{ м} ]

Теперь вычислим потенциальную энергию:

[ E = 0.1 \times 9.81 \times 0.01705 \approx 0.0167 \text{ Дж} ]

Таким образом, период колебаний маятника составляет приблизительно ( 1.42 ) секунды, а энергия в крайнем положении отклонения равна примерно ( 0.0167 ) джоулей.

Для определения периода колебаний маятника воспользуемся формулой для периода математического маятника:

T = 2π * √(l/g),

где T - период колебаний, l - длина нити (0,5 м), g - ускорение свободного падения (примем за 9,81 м/с²).

T = 2π * √(0,5 / 9,81) ≈ 1,42 с.

Теперь вычислим энергию маятника. Потенциальная энергия маятника в крайней точке отклонения равна кинетической энергии в положении равновесия:

m g h = m * v² / 2,

где m - масса шарика (0,1 кг), g - ускорение свободного падения (9,81 м/с²), h - высота отклонения шарика от положения равновесия, v - скорость шарика в положении равновесия.

h = l (1 - cos(θ)) = 0,5 (1 - cos(15°)) ≈ 0,047 м.

v = √(2gh) = √(2 9,81 0,047) ≈ 0,3 м/с.

Теперь вычислим полную энергию маятника, которая равна сумме его потенциальной и кинетической энергии:

E = m g h + m v² / 2 = 0,1 9,81 0,047 + 0,1 0,3² / 2 ≈ 0,046 Дж.

Итак, период колебаний маятника составляет примерно 1,42 с, а его энергия равна примерно 0,046 Дж.