Мяч, брошенный одним игроком другому пол некоторым углом к горизонту скоростью ϑ_0 = 20 м/с, достиг высшей точки траектории через τ=1 с. На каком расстоянии L, друг от друга находились игроки? Ускорение свободного падения g= 10 м/с2.
Мяч, брошенный одним игроком другому пол некоторым углом к горизонту скоростью ϑ_0 = 20 м/с, достиг высшей точки траектории через τ=1 с. На каком расстоянии L, друг от друга находились игроки? Ускорение свободного падения g= 10 м/с2.
Для решения этой задачи начнем с анализа движения мяча в вертикальном направлении. При броске под углом к горизонту, вертикальная составляющая начальной скорости мяча будет равна ( v_{0y} = v_0 \sin \theta ), где ( \theta ) — угол броска, а ( v_0 ) — начальная скорость.
Из условия известно, что мяч достигает высшей точки траектории через ( \tau = 1 ) секунду. В верхней точке вертикальная скорость мяча равна нулю, и мы можем использовать следующее уравнение для вертикального движения: [ v{y} = v{0y} - g \tau = 0, ] где ( g ) — ускорение свободного падения (10 м/с²). Подставляя данные, получаем: [ v_{0y} = g \tau = 10 \times 1 = 10 \, \text{м/с}. ]
Поскольку начальная скорость мяча равна 20 м/с, можно найти угол броска ( \theta ) из соотношения: [ \sin \theta = \frac{v_{0y}}{v_0} = \frac{10}{20} = 0.5. ] Отсюда ( \theta = 30^\circ ).
Теперь, когда известен угол броска, можно найти горизонтальную составляющую скорости: [ v_{0x} = v_0 \cos \theta = 20 \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{м/с}. ]
Расстояние ( L ), на котором находились игроки, равно горизонтальному перемещению мяча за время полета до высшей точки, умноженное на 2 (поскольку время до высшей точки и время падения с высшей точки одинаковы): [ L = 2 \times v_{0x} \times \tau = 2 \times 10\sqrt{3} \times 1 = 20\sqrt{3} \, \text{м}. ]
Таким образом, расстояние между игроками составляет ( 20\sqrt{3} ) метров, что приблизительно равно 34.64 метра.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать уравнение движения тела под броском: h(t) = h_0 + v_0sin(θ)t - (1/2)gt^2, где h(t) - высота тела в момент времени t, h_0 - начальная высота броска, v_0 - начальная скорость броска, θ - угол броска, g - ускорение свободного падения, t - время.
Находим время достижения мячом высшей точки траектории: v_0sin(θ)τ - (1/2)gτ^2 = 0, 20sin(θ)1 - 51^2 = 0, 20sin(θ) = 5, sin(θ) = 1/4, θ = arcsin(1/4) = 14.48°.
Теперь найдем максимальную высоту траектории: h_max = h_0 + (v_0sin(θ))^2 / (2g), h_max = 0 + (20sin(14.48°))^2 / (210), h_max = (20*0.25)^2 / 20, h_max = 1.
Так как максимальная высота достигается через половину времени полета, то общее время полета мяча составляет 2τ = 2 с.
Теперь найдем расстояние L между игроками: L = v_0cos(θ)2τ, L = 20cos(14.48°)2*2, L ≈ 73.85 м.
Таким образом, игроки находились друг от друга на расстоянии около 73.85 м.
