Мяч, подброшенный вертикально вверх, поднялся на максимальную высоту 20м и упал на землю. Определите...

Давайте решим задачу подробно.

Дано:

• Максимальная высота подъема мяча ( h_{\text{max}} = 20 \, \text{м} );
• Ускорение свободного падения ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 );
• Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Нужно найти:

1. Начальную скорость мяча ( v_0 );
2. Полное время полета ( T ).

Решение:

1. Найдем начальную скорость мяча (( v_0 )).

Когда мяч достигает максимальной высоты, его скорость становится равной нулю (( v = 0 )). Используем уравнение кинематики для вертикального движения:

[ v^2 = v_0^2 - 2gh, ]

где:

• ( v = 0 \, \text{м/с} ) — скорость на максимальной высоте,
• ( v_0 ) — начальная скорость,
• ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения,
• ( h = h_{\text{max}} = 20 \, \text{м} ) — высота.

Подставим данные:

[ 0 = v_0^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot 20. ]

Решим уравнение для ( v_0^2 ):

[ v_0^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 20. ]

[ v_0^2 = 392. ]

[ v_0 = \sqrt{392} \approx 19.8 \, \text{м/с}. ]

Таким образом, начальная скорость мяча:

[ v_0 \approx 19.8 \, \text{м/с}. ]

2. Найдем полное время полета (( T )).

Полное время полета состоит из времени подъема ( t{\text{up}} ) и времени спуска ( t{\text{down}} ). Поскольку движение симметрично (в условиях отсутствия сопротивления воздуха), время подъема равно времени спуска:

[ T = t{\text{up}} + t{\text{down}} = 2 \cdot t_{\text{up}}. ]

Сначала найдем время подъема (( t_{\text{up}} )). Используем уравнение движения:

[ v = v0 - g t{\text{up}}, ]

где:

• ( v = 0 \, \text{м/с} ) на максимальной высоте,
• ( v_0 = 19.8 \, \text{м/с} ) — начальная скорость,
• ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ).

Решим относительно ( t_{\text{up}} ):

[ 0 = 19.8 - 9.8 \cdot t_{\text{up}}. ]

[ t_{\text{up}} = \frac{19.8}{9.8}. ]

[ t_{\text{up}} \approx 2.02 \, \text{с}. ]

Так как время подъема равно ( t{\text{up}} ), а время спуска ( t{\text{down}} ) такое же, то полное время полета:

[ T = 2 \cdot t_{\text{up}} = 2 \cdot 2.02 \approx 4.04 \, \text{с}. ]

Ответ:

1. Начальная скорость мяча ( v_0 \approx 19.8 \, \text{м/с} );
2. Полное время полета ( T \approx 4.04 \, \text{с} ).

Для решения этой задачи используем уравнения кинематики.

1. Определим начальную скорость мяча.

Когда мяч достигает максимальной высоты, его скорость становится равной нулю. Мы можем использовать уравнение движения с постоянным ускорением:

[ v^2 = v_0^2 - 2g h ]

где:

• ( v ) — конечная скорость (0 м/с на максимальной высоте),
• ( v_0 ) — начальная скорость,
• ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )),
• ( h ) — максимальная высота (20 м).

Подставим известные значения в уравнение:

[ 0 = v_0^2 - 2 \cdot 9.81 \cdot 20 ]

Решаем уравнение для ( v_0^2 ):

[ v_0^2 = 2 \cdot 9.81 \cdot 20 ] [ v_0^2 = 392.4 ] [ v_0 = \sqrt{392.4} \approx 19.8 \, \text{м/с} ]

Таким образом, начальная скорость мяча составляет примерно ( 19.8 \, \text{м/с} ).

1. Определим полное время полета.

Время, необходимое для подъема, можно найти по формуле:

[ t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g} ]

Подставим значение начальной скорости:

[ t_{\text{подъем}} = \frac{19.8}{9.81} \approx 2.02 \, \text{с} ]

Так как время подъема равно времени спуска, полное время полета будет:

[ t{\text{полный}} = 2 \cdot t{\text{подъем}} \approx 2 \cdot 2.02 \approx 4.04 \, \text{с} ]

Ответ: Начальная скорость мяча: ( \approx 19.8 \, \text{м/с} ); полное время полета: ( \approx 4.04 \, \text{с} ).

Для решения задачи используем основные уравнения кинематики. Дадим обозначения:

• ( h ) — максимальная высота (20 м);
• ( g ) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²);
• ( v_0 ) — начальная скорость мяча;
• ( t ) — общее время полета.

Шаг 1: Определение начальной скорости

Когда мяч поднимается до максимальной высоты, его скорость в этот момент становится равной нулю (( v = 0 )). Мы можем использовать уравнение движения для определения начальной скорости:

[ v^2 = v_0^2 - 2gh ]

Подставим известные значения:

[ 0 = v_0^2 - 2 \cdot 9.81 \cdot 20 ]

[ v_0^2 = 2 \cdot 9.81 \cdot 20 ]

[ v_0^2 = 392.4 ]

Теперь найдем ( v_0 ):

[ v_0 = \sqrt{392.4} \approx 19.8 \text{ м/с} ]

Шаг 2: Определение времени полета

Теперь найдем время, за которое мяч поднимается до максимальной высоты. Для этого используем уравнение:

[ v = v_0 - gt ]

В момент достижения максимальной высоты ( v = 0 ):

[ 0 = v0 - gt{\text{подъема}} ]

Отсюда:

[ gt_{\text{подъема}} = v_0 ]

[ t_{\text{подъема}} = \frac{v_0}{g} = \frac{19.8}{9.81} \approx 2.02 \text{ с} ]

Так как время подъема равно времени спуска, общее время полета (( t )) будет:

[ t = t{\text{подъема}} + t{\text{спуска}} = 2 \cdot t_{\text{подъема}} = 2 \cdot 2.02 \approx 4.04 \text{ с} ]

Результаты

• Начальная скорость мяча ( v_0 \approx 19.8 \text{ м/с} ).
• Полное время полета ( t \approx 4.04 \text{ с} ).

Таким образом, мяч, подброшенный вертикально вверх, имеет начальную скорость примерно 19.8 м/с и проводит в воздухе около 4.04 секунд.