Мальчик бросил камень в глубокий колодец и услышал всплеск воды через 3 с. Определите глубину колодца....

Для определения глубины колодца можно воспользоваться формулой для расчета времени, за которое звук достигнет поверхности воды в колодце после падения камня:

t = 2 * h / v

где t - время, за которое звук достигнет поверхности воды в колодце (3 с), h - глубина колодца, v - скорость звука (330 м/с).

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

3 = 2 * h / 330

Упрощая уравнение, находим:

h = 330 * 3 / 2 = 495 м

Таким образом, глубина колодца составляет 495 метров.

Для решения этой задачи нужно учесть два этапа: время, за которое камень падает до воды, и время, за которое звук всплеска достигает ушей мальчика.

Обозначим:

• ( t_1 ) — время падения камня,
• ( t_2 ) — время, за которое звук проходит от воды до мальчика.

Общее время, которое прошло с момента броска камня до момента, когда мальчик услышал всплеск, составляет 3 секунды: [ t_1 + t_2 = 3 \text{ с} ]

Теперь найдем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ).

Время падения камня ( t_1 )

Камень падает с начальной скоростью ( v_0 = 0 ), поэтому используем уравнение движения при свободном падении: [ h = \frac{1}{2} g t_1^2 ]

где:

• ( h ) — глубина колодца,
• ( g ) — ускорение свободного падения (примем ( g = 9.8 \text{ м/с}^2 )).

Время распространения звука ( t_2 )

Звук распространяется со скоростью ( v_{\text{звук}} = 330 \text{ м/с} ). Тогда время, за которое звук достигает ушей мальчика, можно выразить как: [ t2 = \frac{h}{v{\text{звук}}} ]

Совместим два уравнения

Теперь подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в уравнение ( t_1 + t_2 = 3 \text{ с} ): [ t_1 + \frac{h}{330} = 3 ]

Отсюда выразим ( t_1 ) через ( h ): [ t_1 = 3 - \frac{h}{330} ]

Подставим это выражение в уравнение для ( h ): [ h = \frac{1}{2} g t_1^2 ] [ h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot \left( 3 - \frac{h}{330} \right)^2 ]

Решим это уравнение относительно ( h ). Для удобства обозначим ( t_1 = 3 - \frac{h}{330} ) и подставим это в квадрат: [ h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot \left( 3 - \frac{h}{330} \right)^2 ] [ h = 4.9 \cdot \left( 3 - \frac{h}{330} \right)^2 ]

Давайте раскроем скобки и упростим уравнение: [ h = 4.9 \cdot \left( 9 - 2 \cdot \frac{3h}{330} + \left(\frac{h}{330}\right)^2 \right) ] [ h = 4.9 \cdot \left( 9 - \frac{6h}{330} + \frac{h^2}{108900} \right) ] [ h = 4.9 \cdot 9 - 4.9 \cdot \frac{6h}{330} + 4.9 \cdot \frac{h^2}{108900} ] [ h = 44.1 - \frac{29.4h}{330} + \frac{4.9h^2}{108900} ]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения: [ h - 44.1 + \frac{29.4h}{330} - \frac{4.9h^2}{108900} = 0 ]

Упростим уравнение: [ h - 44.1 + \frac{29.4h}{330} - \frac{h^2}{22200} = 0 ] [ h - 44.1 + \frac{h}{11.22} - \frac{h^2}{22200} = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( h ). Решим его численными методами или с помощью калькулятора. После решения получаем:

[ h \approx 40.6 \text{ м} ]

Таким образом, глубина колодца составляет приблизительно 40.6 метров.