Маленький шарик подвешен на диэлектрической пружине в пространстве плоского конденсатора,пластины которого-круги...

Для решения этой задачи сначала определим силу, действующую на заряженный шарик в электрическом поле конденсатора, и как она влияет на растяжение пружины.

Дано:

• Радиус пластин конденсатора ( R = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} ).
• Заряд шарика ( q = 3 \, \text{нКл} = 3 \times 10^{-9} \, \text{Кл} ).
• Заряд на пластинах конденсатора ( Q = 2 \times 10^{-8} \, \text{Кл} ).
• Первоначальная растяжка пружины увеличилась вдвое при зарядке пластин.

Шаги решения:

1. Определим электрическое поле между пластинами конденсатора:

   Для плоского конденсатора с зарядом ( Q ) на каждой пластине и площадью ( S = \pi R^2 ), напряжённость электрического поля ( E ) между пластинами равна: [ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 \pi R^2} ] где (\sigma = \frac{Q}{S}) — поверхностная плотность заряда, и (\varepsilon_0) — электрическая постоянная ((\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м})).

2. Рассчитаем силу, действующую на шарик:

   Сила ( F ), действующая на заряженный шарик в электрическом поле, равна: [ F = qE = q \frac{Q}{\varepsilon_0 \pi R^2} ]

3. Рассмотрим изменение растяжения пружины:

   Пусть первоначальная сила упругости пружины до увеличения растяжения равна ( F_0 = kx_0 ), где ( k ) — жёсткость пружины, а ( x_0 ) — первоначальное растяжение.

   После зарядки пластин сила упругости увеличилась вдвое, т.е. ( F_{\text{упр}} = 2kx_0 ).

4. Равновесие сил:

   В равновесии сила упругости равна суммарной силе тяжести и электрической силе: [ 2kx_0 = mg + F ] где ( m ) — масса шарика, а ( g ) — ускорение свободного падения (( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 )).

5. Распишем уравнение и выразим массу шарика:

   [ 2kx_0 = mg + q \frac{Q}{\varepsilon_0 \pi R^2} ]

   Первоначально, когда пластинам не сообщали заряд, уравнение сил было: [ kx_0 = mg ]

   Подставив ( kx_0 = mg ) в уравнение, получим: [ 2mg = mg + q \frac{Q}{\varepsilon_0 \pi R^2} ] [ mg = q \frac{Q}{\varepsilon_0 \pi R^2} ]

6. Вычислим массу шарика:

   [ m = \frac{qQ}{g \varepsilon_0 \pi R^2} ]

   Подставим числовые значения: [ m = \frac{3 \times 10^{-9} \times 2 \times 10^{-8}}{9.81 \times 8.85 \times 10^{-12} \times \pi \times (0.1)^2} ]

   [ m \approx \frac{6 \times 10^{-17}}{9.81 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3.1416 \times 0.01} ]

   [ m \approx \frac{6 \times 10^{-17}}{2.73 \times 10^{-14}} ]

   [ m \approx 2.20 \times 10^{-3} \, \text{кг} = 2.20 \, \text{г} ]

Таким образом, масса шарика составляет примерно 2.20 грамма.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать принцип равновесия сил.

При наличии заряда шарика в электрическом поле конденсатора на него действует сила Кулона, равная F = qE, где q - заряд шарика, а E - напряженность электрического поля. Также на шарик действует сила упругости пружины, равная F = kx, где k - жесткость пружины, а x - удлинение пружины.

Когда пластинам конденсатора сообщили заряд, растяжение пружины увеличилось вдвое, что означает, что сила Кулона увеличилась вдвое, так как обе силы должны быть равны в равновесии. Таким образом, можно записать уравнение:

qE = 2qE kx = 2qE

Так как E = V/d, где V - напряжение на конденсаторе, а d - расстояние между пластинами, а также F = mg, где m - масса шарика, а g - ускорение свободного падения, то уравнение можно переписать в виде:

kx = 2q(V/d) mg = 2q(V/d)

Отсюда можно выразить массу шарика:

m = 2qV/(gd)

Для нахождения массы шарика необходимо знать значения зарядов, напряжения на конденсаторе, расстояния между пластинами и ускорения свободного падения.