Масса некоторой планеты в 3 раза меньше массы земли каков радиус этой планеты если ускорение свободного падения на ее поверхности такое же как на земле
Масса некоторой планеты в 3 раза меньше массы земли каков радиус этой планеты если ускорение свободного падения на ее поверхности такое же как на земле
Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения и формулой для ускорения свободного падения на поверхности планеты.
Ускорение свободного падения ( g ) на поверхности планеты определяется следующим образом:
[ g = \frac{GM}{R^2} ]
где:
Согласно условию задачи, масса планеты ( M_p ) в 3 раза меньше массы Земли ( M_e ):
[ M_p = \frac{1}{3} M_e ]
Ускорение свободного падения на поверхности Земли равно ( g_e \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ).
Поскольку ускорение свободного падения на поверхности искомой планеты такое же, как на Земле (( g_p = g_e )), мы можем записать:
[ g_e = \frac{G M_p}{R_p^2} ]
Теперь подставим выражение для массы планеты:
[ g_e = \frac{G \left(\frac{1}{3} M_e\right)}{R_p^2} ]
Поскольку ускорение свободного падения на Земле также можно выразить как:
[ g_e = \frac{G M_e}{R_e^2} ]
где ( R_e ) — радиус Земли, мы можем приравнять эти два выражения:
[ \frac{G M_e}{R_e^2} = \frac{G \left(\frac{1}{3} M_e\right)}{R_p^2} ]
Теперь можем сократить ( G ) и ( M_e ) (при условии, что масса Земли не равна нулю):
[ \frac{1}{R_e^2} = \frac{1/3}{R_p^2} ]
Умножим обе стороны уравнения на ( 3R_p^2 ):
[ 3 = \frac{R_p^2}{R_e^2} ]
Теперь выразим радиус планеты:
[ R_p^2 = 3R_e^2 ]
И, взяв квадратный корень, получаем:
[ R_p = R_e \sqrt{3} ]
Подставим значение радиуса Земли ( R_e \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{м} ):
[ R_p \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{м} \times \sqrt{3} \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{м} \times 1.732 \approx 11.041 \times 10^6 \, \text{м} \approx 11.04 \, \text{км} ]
Таким образом, радиус данной планеты составляет приблизительно ( 11.04 \, \text{км} ).
Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения и формулой для ускорения свободного падения.
Ускорение свободного падения ( g ) определяется следующим образом:
[ g = \frac{G \cdot M}{R^2}, ]
где:
Для Земли ускорение свободного падения равно ( g{\text{Земля}} = 9.8 \, \text{м/с}^2 ), масса Земли обозначается как ( M{\text{Земля}} ), а радиус Земли — ( R_{\text{Земля}} ).
По условию задачи:
Ускорение свободного падения на поверхности планеты равно:
[ g{\text{планета}} = \frac{G \cdot M{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2}. ]
Из этой формулы выразим радиус планеты ( R_{\text{планета}} ):
[ R{\text{планета}} = \sqrt{\frac{G \cdot M{\text{планета}}}{g_{\text{планета}}}}. ]
Подставим ( M{\text{планета}} = \frac{1}{3} M{\text{Земля}} ) и учтём, что ( g{\text{планета}} = g{\text{Земля}} ). Тогда радиус планеты:
[ R{\text{планета}} = \sqrt{\frac{G \cdot \frac{1}{3} M{\text{Земля}}}{g_{\text{Земля}}}}. ]
Вспомним, что для Земли верно:
[ g{\text{Земля}} = \frac{G \cdot M{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2}. ]
Отсюда ( G \cdot M{\text{Земля}} = g{\text{Земля}} \cdot R{\text{Земля}}^2 ). Подставим это в формулу для ( R{\text{планета}} ):
[ R{\text{планета}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{3} (g{\text{Земля}} \cdot R{\text{Земля}}^2)}{g{\text{Земля}}}}. ]
Сократим ( g_{\text{Земля}} ) в числителе и знаменателе:
[ R{\text{планета}} = \sqrt{\frac{1}{3} R{\text{Земля}}^2}. ]
Вынесем ( R_{\text{Земля}} ) из-под корня:
[ R{\text{планета}} = R{\text{Земля}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}. ]
Радиус планеты ( R_{\text{планета}} ) меньше радиуса Земли в ( \sqrt{3} ) раза:
[ R{\text{планета}} = \frac{R{\text{Земля}}}{\sqrt{3}}. ]
Таким образом, если масса планеты в 3 раза меньше массы Земли, а ускорение свободного падения на её поверхности такое же, радиус планеты будет равен примерно ( 0.577 R{\text{Земля}} ), где ( R{\text{Земля}} \approx 6371 \, \text{км} ).
