Масса земли равна 6×10^24 кг, радиус 6371 км. Определите ускорение свободного падения на поверхности...

Для определения ускорения свободного падения на поверхности Земли используем закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения ( g ) можно рассчитать по формуле:

[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная, ( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 ),
• ( M ) — масса Земли, ( M = 6 \times 10^{24} \, \text{кг} ),
• ( R ) — радиус Земли, ( R = 6371 \, \text{км} = 6.371 \times 10^6 \, \text{м} ).

Подставим значения в формулу:

[ g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2} ]

Сначала вычислим ( R^2 ):

[ (6.371 \times 10^6)^2 \approx 4.058 \times 10^{13} \, \text{м}^2 ]

Теперь подставим это значение в формулу для ( g ):

[ g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{4.058 \times 10^{13}} \approx \frac{4.0044 \times 10^{14}}{4.058 \times 10^{13}} \approx 9.85 \, \text{м/с}^2 ]

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности Земли примерно равно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 ).

Теперь определим скорость спутника на высоте 3600 км. Высота ( h = 3600 \, \text{км} = 3.6 \times 10^6 \, \text{м} ). Полный радиус, на котором находится спутник, будет равен:

[ R' = R + h = 6.371 \times 10^6 + 3.6 \times 10^6 = 9.971 \times 10^6 \, \text{м} ]

Скорость спутника можно найти по формуле:

[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R'}} ]

Подставим известные значения:

[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{9.971 \times 10^6}} ]

Сначала вычислим числитель:

[ G \cdot M = 6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24} \approx 4.0044 \times 10^{14} ]

Теперь подставим это значение в формулу для скорости:

[ v = \sqrt{\frac{4.0044 \times 10^{14}}{9.971 \times 10^6}} \approx \sqrt{4.017 \times 10^7} \approx 6340 \, \text{м/с} ]

Таким образом, скорость спутника на высоте 3600 км составляет примерно ( 6340 \, \text{м/с} ).

В итоге, мы получили:

• Ускорение свободного падения на поверхности Земли: ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 )
• Скорость спутника на высоте 3600 км: ( v \approx 6340 \, \text{м/с} )

Для решения задачи о нахождении ускорения свободного падения на поверхности Земли и скорости спутника на заданной высоте начнем с того, что применим основные законы гравитации и механики.

1. Ускорение свободного падения на поверхности Земли

Ускорение свободного падения ( g ) на поверхности Земли определяется по формуле, выведенной из закона всемирного тяготения Ньютона:

[ g = \frac{G \cdot M}{R^2}, ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная (( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2} )),
• ( M ) — масса Земли (( 6 \times 10^{24} \, \text{кг} )),
• ( R ) — радиус Земли (( 6371 \, \text{км} = 6.371 \times 10^6 \, \text{м} )).

Подставим значения в формулу:

[ g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2}. ]

Сначала посчитаем знаменатель (( R^2 )):

[ R^2 = (6.371 \times 10^6)^2 = 4.058 \times 10^{13} \, \text{м}^2. ]

Теперь числитель:

[ G \cdot M = 6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24} = 4.0044 \times 10^{14}. ]

И окончательно:

[ g = \frac{4.0044 \times 10^{14}}{4.058 \times 10^{13}} \approx 9.87 \, \text{м/с}^2. ]

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет примерно ( g \approx 9.87 \, \text{м/с}^2 ).

2. Скорость спутника на высоте 3600 км

Для нахождения орбитальной скорости спутника, движущегося по круговой орбите, используем формулу:

[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R_{\text{спутника}}}}, ]

где:

• ( R_{\text{спутника}} ) — расстояние от центра Земли до спутника, равное сумме радиуса Земли и высоты орбиты.

Дано:

• высота орбиты ( h = 3600 \, \text{км} = 3.6 \times 10^6 \, \text{м} ),
• ( R_{\text{спутника}} = R + h = 6.371 \times 10^6 + 3.6 \times 10^6 = 9.971 \times 10^6 \, \text{м} ).

Теперь подставим значения в формулу:

[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{9.971 \times 10^6}}. ]

Числитель (гравитационный параметр):

[ G \cdot M = 4.0044 \times 10^{14}. ]

Знаменатель (( R_{\text{спутника}} )):

[ R_{\text{спутника}} = 9.971 \times 10^6. ]

Подставляем:

[ v = \sqrt{\frac{4.0044 \times 10^{14}}{9.971 \times 10^6}}. ]

Сначала делим:

[ \frac{4.0044 \times 10^{14}}{9.971 \times 10^6} \approx 4.015 \times 10^7. ]

Теперь берем корень:

[ v = \sqrt{4.015 \times 10^7} \approx 6.34 \times 10^3 \, \text{м/с}. ]

Ответ: скорость спутника на высоте 3600 км составляет примерно ( v \approx 6.34 \, \text{км/с} ).

Итоги:

1. Ускорение свободного падения на поверхности Земли: ( g \approx 9.87 \, \text{м/с}^2 ).
2. Скорость спутника на высоте 3600 км: ( v \approx 6.34 \, \text{км/с} ).