Массивный шарик, подвешенный на легкой пружине, совершает гармонические колебания вдоль вертикальной...

Для ответа на вопрос сначала разберем физическую основу задачи.

Гармонические колебания шарика на пружине описываются с помощью закона Гука и второго закона Ньютона. Частота колебаний ( f ) связана с жесткостью пружины ( k ) и массой грузика ( m ) следующим образом:

[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, ]

где:

• ( f ) — частота колебаний,
• ( k ) — жесткость пружины,
• ( m ) — масса подвешенного шарика.

Теперь рассмотрим, как изменение жесткости пружины ( k ) влияет на частоту ( f ).

Условие задачи

Нам нужно увеличить частоту ( f ) в 2 раза. Обозначим начальную частоту как ( f_0 ), а новую частоту, которую мы хотим получить, как ( f = 2f_0 ).

Подставим это в формулу:

[ 2f0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k{\text{new}}}{m}}, ]

где ( k_{\text{new}} ) — новая жесткость пружины, которую нужно найти. Частота ( f0 ) при исходной жесткости ( k{\text{old}} ) равна:

[ f0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k{\text{old}}}{m}}. ]

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить массу и другие постоянные:

[ \frac{2f_0}{f0} = \sqrt{\frac{k{\text{new}}}{k_{\text{old}}}}. ]

Упростим:

[ 2 = \sqrt{\frac{k{\text{new}}}{k{\text{old}}}}. ]

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[ 4 = \frac{k{\text{new}}}{k{\text{old}}}. ]

Отсюда:

[ k{\text{new}} = 4k{\text{old}}. ]

Вывод

Чтобы увеличить частоту колебаний в 2 раза, жесткость пружины необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: 4. Увеличить в 4 раза.

Чтобы увеличить частоту колебаний в 2 раза, необходимо увеличить жесткость пружины в 4 раза. Правильный ответ: 4. увеличить в 4 раза.

Для того чтобы понять, как изменение жесткости пружины влияет на частоту колебаний системы, давайте вспомним формулу для частоты колебаний механической системы, состоящей из массы (m) и пружины с жесткостью (k):

[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} ]

где (f) — частота колебаний, (k) — жесткость пружины, (m) — масса шарика.

Если мы хотим увеличить частоту колебаний в 2 раза, то нам нужно решить уравнение:

[ 2f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} ]

где (k') — новая жесткость пружины. Подставим выражение для частоты:

[ 2 \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} ]

Упростим, сократив ( \frac{1}{2\pi} ):

[ 2 \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k'}{m}} ]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[ 4 \frac{k}{m} = \frac{k'}{m} ]

Сократим (m) (при условии, что масса не равна нулю):

[ k' = 4k ]

Таким образом, чтобы увеличить частоту колебаний в 2 раза, необходимо увеличить жесткость пружины в 4 раза.

Ответ: 4. увеличить в 4 раза.