Математический маятник массой m=40г и длиной l=0,8 м совершает гармонические колебания с амплитудой...

Математический маятник представляет собой идеализированную модель, в которой масса ( m ) сосредоточена в одной точке, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длиной ( l ). В данном случае масса маятника ( m = 40 ) г (0,04 кг), длина нити ( l = 0,8 ) м, амплитуда колебаний ( x_{\text{max}} = 2 ) см (0,02 м), а ускорение свободного падения ( g = 10 ) м/с².

Для определения максимальной кинетической энергии маятника воспользуемся законом сохранения энергии. В точке максимального отклонения маятника его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. В нижней точке траектории (в положении равновесия) кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия минимальна (равна нулю).

Максимальная потенциальная энергия в точке максимального отклонения маятника равна:

[ E_{\text{пот}} = mgh ]

где ( h ) — высота, на которую поднимается маятник.

Для небольших углов отклонения (малых амплитуд) высоту ( h ) можно приближенно вычислить как:

[ h \approx l \left(1 - \cos \theta\right) ]

где ( \theta ) — максимальный угол отклонения маятника. При малых углах можно использовать приближение ( \cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} ), и тогда:

[ h \approx l \left(1 - \left(1 - \frac{\theta^2}{2}\right)\right) = \frac{l \theta^2}{2} ]

Угол ( \theta ) можно выразить через амплитуду ( x_{\text{max}} ) и длину нити ( l ):

[ \theta \approx \frac{x_{\text{max}}}{l} ]

Подставим это выражение в формулу для высоты:

[ h \approx \frac{l \left(\frac{x{\text{max}}}{l}\right)^2}{2} = \frac{x{\text{max}}^2}{2l} ]

Теперь подставим ( h ) в формулу потенциальной энергии:

[ E{\text{пот}} = mg \cdot \frac{x{\text{max}}^2}{2l} ]

Подставим данные задачи:

[ E_{\text{пот}} = 0,04 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot \frac{(0,02 \, \text{м})^2}{2 \cdot 0,8 \, \text{м}} ]

Выполним вычисления:

[ E_{\text{пот}} = 0,04 \cdot 10 \cdot \frac{0,0004}{1,6} ]

[ E_{\text{пот}} = 0,4 \cdot \frac{0,0004}{1,6} ]

[ E_{\text{пот}} = 0,4 \cdot 0,00025 ]

[ E_{\text{пот}} = 0,0001 \, \text{Дж} ]

Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии в точке максимального отклонения:

[ E_{\text{макс}} = 0,0001 \, \text{Дж} ]

Таким образом, максимальная кинетическая энергия маятника составляет ( 0,0001 ) Дж.

Для определения максимальной кинетической энергии маятника воспользуемся формулой для кинетической энергии тела, движущегося по гармоническому закону:

K = 0.5 m v^2,

где K - кинетическая энергия, m - масса маятника, v - скорость маятника.

Зная, что скорость маятника в точке максимального отклонения равна нулю, а кинетическая энергия в этой точке максимальна, мы можем использовать закон сохранения механической энергии:

E = K + U = const,

где E - полная механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий), U - потенциальная энергия.

На точке максимального отклонения потенциальная энергия маятника полностью переходит в его кинетическую энергию. Поэтому максимальная кинетическая энергия маятника будет равна максимальной потенциальной энергии:

U max = m g h max,

где h max - максимальная высота, на которую поднимается маятник.

Так как амплитуда колебаний равна x max = 2 см = 0.02 м, максимальная высота h max можно найти, используя теорему косинусов для прямоугольного треугольника:

h max = l - l * cos(θ),

где θ - угол отклонения маятника от равновесия (равен углу наклона нити маятника).

Из геометрических соображений можно выразить sin(θ) = x max / l. Тогда cos(θ) = sqrt(1 - sin^2(θ)) = sqrt(1 - (x max / l)^2.

Подставив все значения и рассчитав, получим максимальную кинетическую энергию маятника.