Математический маятник массой m=40г и длиной l=0,8 м совершает гармонические колебания с амплитудой...

Математический маятник представляет собой идеализированную модель, в которой масса $m$ сосредоточена в одной точке, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длиной $l$. В данном случае масса маятника $m=40$ г $0,04кг$, длина нити $l=0,8$ м, амплитуда колебаний $x_{\text{max}}=2$ см $0,02м$, а ускорение свободного падения $g=10$ м/с².

Для определения максимальной кинетической энергии маятника воспользуемся законом сохранения энергии. В точке максимального отклонения маятника его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. В нижней точке траектории $вположенииравновесия$ кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия минимальна $равнанулю$.

Максимальная потенциальная энергия в точке максимального отклонения маятника равна:

$E_{\text{пот}}=mgh$

где $h$ — высота, на которую поднимается маятник.

Для небольших углов отклонения $малыхамплитуд$ высоту $h$ можно приближенно вычислить как:

$h\approx l(1-\cos \theta )$

где $\theta$ — максимальный угол отклонения маятника. При малых углах можно использовать приближение $\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$, и тогда:

$h\approx l(1-(1-\frac{{\theta }^2}{2}))=\frac{l{\theta }^2}{2}$

Угол $\theta$ можно выразить через амплитуду $x_{\text{max}}$ и длину нити $l$:

$\theta \approx \frac{x_{\text{max}}}{l}$

Подставим это выражение в формулу для высоты:

[ h \approx \frac{l \left(\frac{x{\text{max}}}{l}\right)^2}{2} = \frac{x{\text{max}}^2}{2l} ]

Теперь подставим $h$ в формулу потенциальной энергии:

[ E{\text{пот}} = mg \cdot \frac{x{\text{max}}^2}{2l} ]

Подставим данные задачи:

$E_{\text{пот}}=0,04\text{кг}\cdot 10{\text{м/с}}^2\cdot \frac{(0,02\text{м}{)}^2}{2\cdot 0,8\text{м}}$

Выполним вычисления:

$E_{\text{пот}}=0,04\cdot 10\cdot \frac{0,0004}{1,6}$

$E_{\text{пот}}=0,4\cdot \frac{0,0004}{1,6}$

$E_{\text{пот}}=0,4\cdot 0,00025$

$E_{\text{пот}}=0,0001\text{Дж}$

Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии в точке максимального отклонения:

$E_{\text{макс}}=0,0001\text{Дж}$

Таким образом, максимальная кинетическая энергия маятника составляет $0,0001$ Дж.

Для определения максимальной кинетической энергии маятника воспользуемся формулой для кинетической энергии тела, движущегося по гармоническому закону:

K = 0.5 m v^2,

где K - кинетическая энергия, m - масса маятника, v - скорость маятника.

Зная, что скорость маятника в точке максимального отклонения равна нулю, а кинетическая энергия в этой точке максимальна, мы можем использовать закон сохранения механической энергии:

E = K + U = const,

где E - полная механическая энергия $суммакинетическойипотенциальнойэнергий$, U - потенциальная энергия.

На точке максимального отклонения потенциальная энергия маятника полностью переходит в его кинетическую энергию. Поэтому максимальная кинетическая энергия маятника будет равна максимальной потенциальной энергии:

U max = m g h max,

где h max - максимальная высота, на которую поднимается маятник.

Так как амплитуда колебаний равна x max = 2 см = 0.02 м, максимальная высота h max можно найти, используя теорему косинусов для прямоугольного треугольника:

h max = l - l * cos$\theta$,

где θ - угол отклонения маятника от равновесия $равенуглунаклонанитимаятника$.

Из геометрических соображений можно выразить sin$\theta$ = x max / l. Тогда cos$\theta$ = sqrt$1-si{n}^2(\theta$) = sqrt$1-(xmax/l$^2.

Подставив все значения и рассчитав, получим максимальную кинетическую энергию маятника.