Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой v=0,5 Гц. Амплитуда колебаний А=3 см....

Для решения данной задачи можно воспользоваться уравнением гармонических колебаний:

x(t) = A cos(2π ν * t)

Где: x(t) - смещение точки в момент времени t, A - амплитуда колебаний, ν - частота колебаний.

Так как нам дано, что частота колебаний равна 0,5 Гц и амплитуда равна 3 см, подставим значения в уравнение:

x(t) = 3 cos(π t)

Для нахождения скорости точки в момент времени, когда смещение равно 1,5 см, нужно найти производную от уравнения по времени:

v(t) = dx/dt = -3π sin(π t)

Подставляем x=1,5 см и находим скорость в этот момент времени:

v(t) = -3π sin(π t) = -3π sin(π (1,5/3)) = -3π sin(0,5π) = -3π 0 = 0

Следовательно, скорость точки в момент времени, когда смещение x=1,5 см, равна 0.

Для решения задачи о гармонических колебаниях материальной точки необходимо воспользоваться основными уравнениями и свойствами таких колебаний.

1. Основные параметры гармонических колебаний:

   • Частота ( v = 0.5 ) Гц.
   • Амплитуда ( A = 3 ) см.
   • Смещение в заданный момент времени ( x = 1.5 ) см.

2. Связь между угловой частотой и частотой колебаний: Угловая частота ( \omega ) связана с частотой ( v ) следующим образом: [ \omega = 2\pi v ] Подставив значение частоты, получим: [ \omega = 2\pi \times 0.5 = \pi \, \text{рад/с} ]

3. Уравнение гармонических колебаний: В общем случае, смещение ( x(t) ) в любой момент времени ( t ) описывается уравнением: [ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) ] где ( \phi ) — начальная фаза колебаний.

4. Скорость гармонических колебаний: Скорость ( v(t) ) материальной точки в любой момент времени определяется как производная смещения по времени: [ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi) ]

5. Нахождение скорости в момент времени, когда ( x = 1.5 ) см: Из уравнения смещения: [ x = A \cos(\omega t + \phi) = 1.5 \, \text{см} ] Подставляя известные значения, получаем: [ 1.5 = 3 \cos(\omega t + \phi) ] Отсюда: [ \cos(\omega t + \phi) = \frac{1.5}{3} = 0.5 ] Угол, при котором косинус равен 0.5, может быть ( \omega t + \phi = \frac{\pi}{3} ) или ( \omega t + \phi = \frac{5\pi}{3} ).

   Теперь подставим в уравнение для скорости: [ v = -A \omega \sin(\omega t + \phi) ] Для ( \omega t + \phi = \frac{\pi}{3} ) или ( \frac{5\pi}{3} ), синус равен: [ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

   Следовательно, скорость в этих моментах будет: [ v = -3 \times \pi \times \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ] Это дает два значения скорости (с учетом знака): [ v = -\frac{3\pi\sqrt{3}}{2} \, \text{см/с} \quad \text{или} \quad v = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} \, \text{см/с} ]

Таким образом, точка может иметь скорость ( \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} \, \text{см/с} ) или ( -\frac{3\pi\sqrt{3}}{2} \, \text{см/с} ) в зависимости от направления движения в момент времени, когда смещение составляет 1.5 см.