На какой высоте скорость тела, брошенного вертикально вверх со скоростью V0, уменьшится в 4 раза?

Чтобы разобраться с этой задачей, давайте воспользуемся законами кинематики и динамики.

Когда тело брошено вертикально вверх со скоростью ( V_0 ), оно движется под действием силы тяжести, которая замедляет его движение. Начальная скорость тела равна ( V_0 ), а ускорение (в данном случае ускорение свободного падения) равно ( g ) и направлено вниз.

Скорость тела в любой момент времени ( t ) можно выразить с помощью уравнения движения:

[ V(t) = V_0 - gt ]

Когда тело достигает максимальной высоты, его скорость становится равной нулю. Мы можем найти максимальную высоту ( h ), на которую поднимется тело, используя уравнение:

[ V^2 = V_0^2 - 2gh ]

При достижении максимальной высоты ( V = 0 ):

[ 0 = V_0^2 - 2gh ]

Отсюда выражаем ( h ):

[ h = \frac{V_0^2}{2g} ]

Теперь вернемся к вопросу о том, на какой высоте скорость тела уменьшится в 4 раза. Если скорость тела уменьшилась в 4 раза, то новая скорость ( V ) станет равной:

[ V = \frac{V_0}{4} ]

Подставляем это значение в уравнение:

[ \left(\frac{V_0}{4}\right)^2 = V_0^2 - 2gh' ]

Где ( h' ) — это высота, на которой скорость тела уменьшилась в 4 раза. Упростим уравнение:

[ \frac{V_0^2}{16} = V_0^2 - 2gh' ]

Теперь переместим ( V_0^2 ) на левую сторону:

[ \frac{V_0^2}{16} - V_0^2 = -2gh' ]

Объединим дроби:

[ \frac{V_0^2 - 16V_0^2}{16} = -2gh' ]

[ -\frac{15V_0^2}{16} = -2gh' ]

Теперь уберем знак минус и упростим:

[ \frac{15V_0^2}{16} = 2gh' ]

Разделим обе стороны на ( 2g ):

[ h' = \frac{15V_0^2}{32g} ]

Таким образом, высота, на которой скорость тела уменьшится в 4 раза, равна:

[ h' = \frac{15V_0^2}{32g} ]

Эта формула позволяет определить, на какой высоте произойдет такое изменение скорости для любого значения начальной скорости ( V_0 ) и ускорения свободного падения ( g ).

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим физику движения тела, брошенного вертикально вверх, с использованием законов кинематики и энергии.

Дано:

1. Начальная скорость тела: ( V_0 ).
2. Ускорение свободного падения: ( g ) (обычно ( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 )).
3. Скорость на определенной высоте должна стать ( \frac{V_0}{4} ).

Нам нужно определить высоту ( h ), на которой выполняется это условие.

Решение:

Используем закон сохранения энергии или уравнения движения. Для удобства воспользуемся кинематическими уравнениями.

Уравнение для скорости тела при вертикальном движении:

Скорость тела на высоте ( h ) описывается уравнением: [ V = V_0 - g t, ] где ( t ) — время, прошедшее с начала движения.

Однако мы можем использовать безвременное уравнение кинематики, которое связывает скорость и высоту: [ V^2 = V_0^2 - 2 g h. ]

Подставим условие задачи: на высоте ( h ) скорость ( V ) становится равной ( \frac{V_0}{4} ). Подставим это в уравнение: [ \left( \frac{V_0}{4} \right)^2 = V_0^2 - 2 g h. ]

Раскроем скобки: [ \frac{V_0^2}{16} = V_0^2 - 2 g h. ]

Перенесем ( V_0^2 ) из правой части в левую: [ 2 g h = V_0^2 - \frac{V_0^2}{16}. ]

Приведем к общему знаменателю: [ 2 g h = \frac{16 V_0^2}{16} - \frac{V_0^2}{16}. ]

[ 2 g h = \frac{15 V_0^2}{16}. ]

Разделим обе стороны на ( 2g ), чтобы найти ( h ): [ h = \frac{15 V_0^2}{32 g}. ]

Ответ:

Высота, на которой скорость тела уменьшится в 4 раза, равна: [ h = \frac{15 V_0^2}{32 g}. ]

Обсуждение:

1. Заметьте, что высота ( h ) пропорциональна квадрату начальной скорости ( V_0 ), то есть при увеличении ( V_0 ) высота будет расти квадратично.
2. Ускорение свободного падения ( g ) влияет на ( h ) обратно пропорционально: чем больше ( g ), тем меньше высота.

Если подставить значения ( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 ) и конкретное ( V_0 ), можно получить численный результат.