Начиная равноускоренное движение, тело проходит за первые 4 с путь 24 м.определите начальную скорость...

Для решения задачи воспользуемся формулами кинематики равноускоренного движения. Движение тела можно описать следующими уравнениями:

1. Путь при равноускоренном движении: [ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ] где:

   • ( S ) — пройденный путь,
   • ( v_0 ) — начальная скорость,
   • ( a ) — ускорение,
   • ( t ) — время.

2. Скорость тела в момент времени ( t ): [ v = v_0 + a t ]

Теперь решим задачу.

Дано:

1. За первые 4 секунды путь ( S_1 = 24 \, \text{м} ), время ( t_1 = 4 \, \text{с} ).

2. За следующие 4 секунды путь ( S_2 = 64 \, \text{м} ), время ( t_2 = 4 \, \text{с} ) (эти 4 секунды идут после первых 4 секунд, то есть общий интервал времени с начала движения составляет 8 секунд).

Найти начальную скорость ( v_0 ).

Решение:

1. Разделим движение на два участка.

На первом участке тело проходит путь ( S_1 ), который описывается уравнением: [ S_1 = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 ]

На втором участке тело проходит путь ( S_2 ), но важно отметить, что ( S2 ) относится ко времени с ( t = 4 \, \text{с} ) до ( t = 8 \, \text{с} ). Поэтому полный путь, пройденный телом за 8 секунд, равен: [ S{\text{общий}} = S_1 + S_2 ]

Для второго участка также справедливо уравнение: [ S_2 = v_4 t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2 ] где ( v_4 ) — скорость тела в момент времени ( t_1 = 4 \, \text{с} ). Эту скорость можно найти из уравнения скорости: [ v_4 = v_0 + a t_1 ]

2. Подставим в уравнения известные данные и выразим ускорение ( a ).

Сначала запишем уравнение для первого участка движения: [ S_1 = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 ] Подставим известные значения (( S_1 = 24 \, \text{м}, \, t_1 = 4 \, \text{с} )): [ 24 = 4 v_0 + \frac{1}{2} a (4)^2 ] [ 24 = 4 v_0 + 8a \tag{1} ]

Теперь запишем уравнение для второго участка движения: [ S_2 = v_4 t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2 ] Подставим значения (( S_2 = 64 \, \text{м}, \, t_2 = 4 \, \text{с} )): [ 64 = v_4 (4) + \frac{1}{2} a (4)^2 ] [ 64 = 4 v_4 + 8a \tag{2} ]

Также учтем, что ( v_4 = v_0 + a t_1 ). Подставим ( v_4 ) в уравнение (2): [ 64 = 4 (v_0 + a t_1) + 8a ] [ 64 = 4 v_0 + 4a t_1 + 8a ] Подставим ( t_1 = 4 \, \text{с} ): [ 64 = 4 v_0 + 4a (4) + 8a ] [ 64 = 4 v_0 + 16a + 8a ] [ 64 = 4 v_0 + 24a \tag{3} ]

3. Решим систему уравнений (1) и (3).

Уравнение (1): [ 24 = 4 v_0 + 8a ]

Уравнение (3): [ 64 = 4 v_0 + 24a ]

Вычтем (1) из (3): [ (64 - 24) = (4 v_0 + 24a) - (4 v_0 + 8a) ] [ 40 = 16a ] [ a = 2.5 \, \text{м/с}^2 ]

Подставим ( a = 2.5 ) в уравнение (1): [ 24 = 4 v_0 + 8 (2.5) ] [ 24 = 4 v_0 + 20 ] [ 4 = 4 v_0 ] [ v_0 = 1 \, \text{м/с} ]

Ответ:

Начальная скорость тела ( v_0 = 1 \, \text{м/с} ).

Для решения задачи воспользуемся формулами равноускоренного движения.

1. В первые 4 секунды тело проходит путь ( S_1 = 24 \, \text{м} ) с начальной скоростью ( v_0 ) и ускорением ( a ): [ S_1 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2, ] где ( t = 4 \, \text{с} ): [ 24 = 4v_0 + 8a. \quad \text{(1)} ]

2. За следующие 4 секунды (с 4-й по 8-ю секунду) тело проходит путь ( S_2 = 64 \, \text{м} ): [ S_2 = v_0 t' + \frac{1}{2} a (t')^2, ] где ( t' = 4 \, \text{с} ) и ( v_0 + 4a ) — это скорость в начале 5-й секунды: [ 64 = (v_0 + 8a) \cdot 4 + 8a. ] Раскрываем скобки: [ 64 = 4v_0 + 32a + 8a, ] то есть: [ 64 = 4v_0 + 40a. \quad \text{(2)} ]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) ( 4v_0 + 8a = 24 )

2) ( 4v_0 + 40a = 64 )

Вычтем первое уравнение из второго: [ (4v_0 + 40a) - (4v_0 + 8a) = 64 - 24, ] [ 32a = 40 \Rightarrow a = \frac{40}{32} = 1.25 \, \text{м/с}^2. ]

Теперь подставим значение ( a ) в первое уравнение: [ 4v_0 + 8 \cdot 1.25 = 24, ] [ 4v_0 + 10 = 24 \Rightarrow 4v_0 = 14 \Rightarrow v_0 = \frac{14}{4} = 3.5 \, \text{м/с}. ]

Таким образом, начальная скорость тела ( v_0 = 3.5 \, \text{м/с} ).

Для решения этой задачи воспользуемся основными уравнениями кинематики для равноускоренного движения. Обозначим:

• ( S_1 = 24 \, \text{м} ) — путь, пройденный телом за первые 4 секунды;
• ( S_2 = 64 \, \text{м} ) — путь, пройденный телом за следующие 4 секунды;
• ( t_1 = 4 \, \text{с} ) — время первого интервала;
• ( t_2 = 4 \, \text{с} ) — время второго интервала;
• ( v_0 ) — начальная скорость тела;
• ( a ) — ускорение.

Для равноускоренного движения путь можно вычислить по формуле: [ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ]

Для первого интервала (первые 4 секунды): [ S_1 = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 ] Подставим значения: [ 24 = v_0 \cdot 4 + \frac{1}{2} a \cdot 4^2 ] [ 24 = 4 v_0 + 8 a \quad \text{(1)} ]

Для второго интервала (следующие 4 секунды) нужно учесть, что в начале этого интервала тело уже имело скорость, равную: [ v_1 = v_0 + a t_1 = v_0 + 4a ] Путь, пройденный телом за второй интервал времени, равен: [ S_2 = v_1 t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2 ] Подставим значения: [ 64 = (v_0 + 4a) \cdot 4 + \frac{1}{2} a \cdot 4^2 ] Раскроем скобки: [ 64 = 4(v_0 + 4a) + 8a ] [ 64 = 4 v_0 + 16 a + 8 a ] [ 64 = 4 v_0 + 24 a \quad \text{(2)} ]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений (1) и (2):

1. ( 24 = 4 v_0 + 8 a )
2. ( 64 = 4 v_0 + 24 a )

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим ( a ): [ 8a = 24 - 4v_0 \implies a = \frac{24 - 4v_0}{8} = 3 - 0.5v_0 ]

Подставим это значение ( a ) во второе уравнение: [ 64 = 4 v_0 + 24(3 - 0.5v_0) ] Раскроем скобки: [ 64 = 4 v_0 + 72 - 12v_0 ] Соберем все члены с ( v_0 ) в одну сторону: [ 64 - 72 = 4 v_0 - 12 v_0 ] [ -8 = -8 v_0 \implies v_0 = 1 \, \text{м/с} ]

Теперь можем найти ускорение, подставив значение ( v_0 ) в одно из уравнений. Подставим в уравнение (1): [ 24 = 4 \cdot 1 + 8a ] [ 24 = 4 + 8a \implies 20 = 8a \implies a = \frac{20}{8} = 2.5 \, \text{м/с}^2 ]

Таким образом, начальная скорость тела равна ( v_0 = 1 \, \text{м/с} ), а ускорение ( a = 2.5 \, \text{м/с}^2 ).