Плоский воздушный конденсатор емкостью 0,5 мкФ подключили к источнику постоянного напряжения 100 В. а)Какой заряд накопит конденсатор при зарядке? б)Чему равна энергия заряженного конденсатора? в)После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между его пластинами увеличили в 2 раза.Веществом с какой диэлектрической проницаемостью необходимо заполнить пространство между пластинами, чтобы энергия заряженного конденсатора осталась неизменной?
Давайте подробно разберем каждый пункт задачи.
Заряд на обкладках конденсатора определяется формулой: [ Q = C \cdot U, ] где ( C ) — емкость конденсатора, ( U ) — напряжение на обкладках.
Подставим значения: [ Q = (0,5 \cdot 10^{-6}) \cdot 100 = 0,5 \cdot 10^{-4} \, \text{Кл} = 5 \cdot 10^{-5} \, \text{Кл}. ]
Ответ: заряд на конденсаторе ( Q = 5 \cdot 10^{-5} \, \text{Кл} ).
Энергия заряженного конденсатора рассчитывается по формуле: [ W = \frac{C \cdot U^2}{2}, ] где ( C ) — емкость, ( U ) — напряжение.
Подставим значения: [ W = \frac{(0,5 \cdot 10^{-6}) \cdot 100^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 10^{-6} \cdot 10^4}{2} = \frac{0,5 \cdot 10^{-2}}{2} = 0,25 \cdot 10^{-2} = 2,5 \cdot 10^{-3} \, \text{Дж}. ]
Ответ: энергия заряженного конденсатора ( W = 2,5 \cdot 10^{-3} \, \text{Дж} ).
При отключении от источника напряжения заряд ( Q ) на обкладках конденсатора остается постоянным. Энергия заряженного конденсатора в этом случае выражается через заряд и емкость: [ W = \frac{Q^2}{2C}. ]
Емкость плоского конденсатора определяется формулой: [ C = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{S}{d}, ] где:
При увеличении расстояния между пластинами в 2 раза (( d' = 2d )), емкость уменьшится в 2 раза: [ C' = \frac{C}{2}. ]
Исходная энергия: [ W_0 = \frac{Q^2}{2C}. ]
После увеличения расстояния между пластинами емкость уменьшилась, значит, новая энергия: [ W' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2 \cdot (C/2)} = \frac{Q^2}{C} = 2W_0. ]
То есть энергия увеличится в 2 раза, если расстояние между пластинами увеличить, но не изменить диэлектрическую проницаемость.
Для этого нужно восстановить емкость ( C ), которая уменьшилась из-за увеличения расстояния между пластинами. Это можно сделать, увеличив диэлектрическую проницаемость заполнителя ( \varepsilon' ). Если ( d ) увеличилось в 2 раза, то, чтобы емкость осталась неизменной, ( \varepsilon' ) должна быть в 2 раза больше исходной: [ \varepsilon' = 2 \varepsilon. ]
Поскольку в начальном состоянии между пластинами был вакуум или воздух (( \varepsilon = 1 )), то ( \varepsilon' = 2 ).
Ответ: чтобы энергия осталась неизменной, пространство между пластинами нужно заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью ( \varepsilon = 2 ).
а) Заряд на конденсаторе: ( Q = 5 \cdot 10^{-5} \, \text{Кл} ).
б) Энергия заряженного конденсатора: ( W = 2,5 \cdot 10^{-3} \, \text{Дж} ).
в) Диэлектрическая проницаемость вещества: ( \varepsilon = 2 ).
Чтобы решить задачу, давайте поэтапно разберем каждый из пунктов.
Емкость ( C ) конденсатора равна 0,5 мкФ, что можно записать как:
[ C = 0,5 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ]
Когда конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения ( U = 100 \, \text{В} ), заряд ( Q ), накопленный конденсатором, можно найти по формуле:
[ Q = C \cdot U ]
Подставим значения:
[ Q = 0,5 \times 10^{-6} \, \text{Ф} \cdot 100 \, \text{В} = 5 \times 10^{-5} \, \text{Кл} = 50 \, \mu\text{Кл} ]
Таким образом, заряд, накопленный конденсатором, равен 50 мкКл.
Энергию ( W ), хранящуюся в конденсаторе, можно вычислить по формуле:
[ W = \frac{1}{2} C U^2 ]
Подставим известные значения:
[ W = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \, \text{Ф} \cdot (100 \, \text{В})^2 ] [ W = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot 10000 \, \text{В}^2 ] [ W = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot 10^4 ] [ W = \frac{0,5 \times 10^{-2}}{2} = 0,25 \times 10^{-2} = 0,0025 \, \text{Дж} = 2,5 \, \text{мДж} ]
Таким образом, энергия заряженного конденсатора составляет 2,5 мДж.
Когда конденсатор отключен от источника, заряд ( Q ) на его пластинах остается постоянным. Если расстояние между пластинами увеличивается в 2 раза, то емкость ( C ) изменяется. Для плоского конденсатора емкость ( C ) обратно пропорциональна расстоянию ( d ) между пластинами:
[ C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} ]
Если расстояние увеличилось в 2 раза, то новая емкость ( C' ):
[ C' = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} ]
Энергия заряженного конденсатора в новом состоянии будет равна:
[ W' = \frac{Q^2}{2C'} ]
Поскольку заряд ( Q ) остается постоянным, чтобы энергия ( W' ) осталась равной ( W ), необходимо, чтобы:
[ \frac{Q^2}{2C'} = W ]
Подставляя ( C' = \frac{C}{2} ):
[ W = \frac{Q^2}{2 \cdot \frac{C}{2}} = \frac{Q^2}{C} ]
Теперь, чтобы сохранить энергию, необходимо заполнить пространство между пластинами диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ( \varepsilon_r ). Новая емкость с учетом диэлектрика будет:
[ C' = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{d'} ]
Где ( d' = 2d ):
[ C' = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{2d} ]
Сравнивая ( W ) и ( W' ):
[ \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 A / 2d} ]
Для сохранения энергии при увеличении расстояния до 2 раз, следует установить условие:
[ \varepsilon_r = 1 ]
Таким образом, необходимо заполнить пространство между пластинами конденсатора воздухом (или вакуумом), поскольку его диэлектрическая проницаемость равна 1.
а) Заряд конденсатора можно найти по формуле ( Q = C \cdot U ), где ( C = 0,5 \, \mu\text{F} = 0,5 \times 10^{-6} \, \text{F} ) и ( U = 100 \, \text{V} ).
[ Q = 0,5 \times 10^{-6} \, \text{F} \cdot 100 \, \text{V} = 5 \times 10^{-5} \, \text{C} = 50 \, \mu\text{C} ]
б) Энергию заряженного конденсатора можно найти по формуле ( W = \frac{1}{2} C U^2 ).
[ W = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \, \text{F} \cdot (100 \, \text{V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot 10000 = 2,5 \times 10^{-3} \, \text{Дж} = 2,5 \, \text{мДж} ]
в) После увеличения расстояния между пластинами в 2 раза, емкость конденсатора уменьшится в 2 раза: ( C' = \frac{C}{2} ). Для сохранения энергии при использовании диэлектрика необходимо, чтобы новая энергия была равна старой:
[ W' = \frac{1}{2} C' U^2 = W ]
Подставим ( C' = \frac{C}{2} ):
[ \frac{1}{2} \cdot \frac{C}{2} \cdot U^2 = W ]
Таким образом, для сохранения энергии, нужно, чтобы
[ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 \cdot \frac{1}{\varepsilon} = W ]
где ( \varepsilon ) — диэлектрическая проницаемость. Приравнивая обе формулы, мы получаем:
[ \frac{1}{\varepsilon} = 1 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon = 1 ]
Таким образом, пространство между пластинами можно заполнить воздухом (или вакуумом), диэлектрическая проницаемость которого равна 1.
