По двум вертикальным рельсам, расстояние между которыми 50 см, а верхние концы замкнуты сопротивлением...

Для того чтобы определить скорость установившегося движения проводника, начнем с анализа сил, действующих на него, и уравнений, описывающих его движение.

1. Электромагнитная сила (сила Лоренца):

Когда проводник скользит по рельсам, он пересекает магнитные силовые линии, что индуцирует в нем электродвижущую силу (ЭДС). По закону Фарадея, ЭДС (( \mathcal{E} )) равна:

[ \mathcal{E} = B \cdot l \cdot v ]

где:

• ( B ) — индукция магнитного поля (0,4 Тл),
• ( l ) — длина проводника (расстояние между рельсами, 0,5 м),
• ( v ) — скорость проводника.

1. Ток в цепи:

Индуцированная ЭДС вызывает ток в цепи. По закону Ома для полной цепи, ток (( I )) равен:

[ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B \cdot l \cdot v}{R} ]

где ( R ) — сопротивление всей цепи (4 Ом).

1. Сила Лоренца:

На проводник, по которому течет ток в магнитном поле, действует сила Лоренца (( F_L )):

[ F_L = I \cdot l \cdot B = \frac{B \cdot l \cdot v}{R} \cdot l \cdot B = \frac{B^2 \cdot l^2 \cdot v}{R} ]

1. Уравнение движения:

Проводник движется под действием силы тяжести и силы Лоренца. Сила тяжести (( F_g )):

[ F_g = m \cdot g ]

где:

• ( m ) — масса проводника (0,05 кг),
• ( g ) — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²).

Для установившегося движения сила Лоренца уравновешивает силу тяжести:

[ F_L = F_g ]

Подставляя выражения для сил и решая для ( v ):

[ \frac{B^2 \cdot l^2 \cdot v}{R} = m \cdot g ]

[ v = \frac{m \cdot g \cdot R}{B^2 \cdot l^2} ]

1. Подставляем числовые значения:

[ v = \frac{0,05 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 4 \, \text{Ом}}{(0,4 \, \text{Тл})^2 \cdot (0,5 \, \text{м})^2} ]

[ v = \frac{0,05 \cdot 9,8 \cdot 4}{0,16 \cdot 0,25} ]

[ v = \frac{1,96}{0,04} ]

[ v = 49 \, \text{м/с} ]

Таким образом, скорость установившегося движения проводника равна 49 м/с.