По прямолинейной автостраде движутся равномерно в противоположных направлениях автобус и мотоциклист....

Уравнения движения автобуса и мотоциклиста можно записать следующим образом:

Для автобуса: x(t) = 500 + 72 t Для мотоциклиста: x(t) = -300 + 36 t

Подставив t = 5 с, получим:

Для автобуса: x(5) = 500 + 72 5 = 860 м Для мотоциклиста: x(5) = -300 + 36 5 = -120 м

Чтобы определить момент времени и место встречи автобуса и мотоциклиста, приравняем их уравнения движения:

500 + 72t = -300 + 36t 36t = 800 t = 22.22 с

Подставив это значение обратно в уравнения движения, найдем место встречи:

x(22.22) = 500 + 72 * 22.22 = 1744 м

Теперь рассмотрим расстояние между ними через 1.5 мин (90 с):

Для автобуса: x(90) = 500 + 72 90 = 6440 м Для мотоциклиста: x(90) = -300 + 36 90 = 2970 м

Расстояние между ними через 1.5 мин будет равно:

|6440 - 2970| = 3470 м

Таким образом, автобус и мотоциклист встретятся через примерно 22.22 с на расстоянии 1744 м, а расстояние между ними через 1.5 мин после начала движения составит 3470 м.

Для решения задачи начнем с определения уравнений движения для автобуса и мотоциклиста. Известно, что они движутся равномерно, что позволяет использовать уравнение прямолинейного равномерного движения:

[ x(t) = x_0 + vt, ]

где ( x(t) ) — это координата в момент времени ( t ), ( x_0 ) — начальная координата, ( v ) — скорость.

1. Уравнения движения

Автобус

• Начальная координата: ( x_0 = 500 ) м.
• Скорость: ( v = 72 ) км/ч. Переведем в м/с: ( v = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20 ) м/с.

Уравнение движения автобуса:

[ x_{авт}(t) = 500 + 20t. ]

Мотоциклист

• Начальная координата: ( x_0 = -300 ) м.
• Скорость: ( v = 36 ) км/ч. Переведем в м/с: ( v = 36 \times \frac{1000}{3600} = 10 ) м/с.
• Поскольку мотоциклист движется в противоположном направлении, скорость будет отрицательной: ( v = -10 ) м/с.

Уравнение движения мотоциклиста:

[ x_{мото}(t) = -300 - 10t. ]

2. Положение через 5 секунд

Подставим ( t = 5 ) с в уравнения движения.

Автобус

[ x_{авт}(5) = 500 + 20 \times 5 = 500 + 100 = 600 \text{ м}. ]

Мотоциклист

[ x_{мото}(5) = -300 - 10 \times 5 = -300 - 50 = -350 \text{ м}. ]

3. Встреча автобуса и мотоциклиста

Для нахождения времени и точки встречи приравняем уравнения движения:

[ 500 + 20t = -300 - 10t. ]

Решим уравнение:

[ 500 + 20t = -300 - 10t ] [ 500 + 300 = 20t + 10t ] [ 800 = 30t ] [ t = \frac{800}{30} = \frac{80}{3} \approx 26.67 \text{ с}. ]

Подставим это значение в одно из уравнений (например, для автобуса):

[ x_{встреча} = 500 + 20 \times \frac{80}{3} = 500 + \frac{1600}{3} = \frac{1500}{3} + \frac{1600}{3} = \frac{3100}{3} \approx 1033.33 \text{ м}. ]

Таким образом, автобус и мотоциклист встретятся через 26.67 секунд в точке с координатой примерно 1033.33 м.

4. Расстояние через 1.5 минуты

1.5 минуты равно 90 секундам. Найдем координаты автобуса и мотоциклиста через 90 секунд.

Автобус

[ x_{авт}(90) = 500 + 20 \times 90 = 500 + 1800 = 2300 \text{ м}. ]

Мотоциклист

[ x_{мото}(90) = -300 - 10 \times 90 = -300 - 900 = -1200 \text{ м}. ]

Расстояние между ними:

[ d = |x{авт}(90) - x{мото}(90)| = |2300 - (-1200)| = |2300 + 1200| = 3500 \text{ м}. ]

Итог

1. Уравнения движения:

   • Автобус: ( x_{авт}(t) = 500 + 20t ).
   • Мотоциклист: ( x_{мото}(t) = -300 - 10t ).

2. Положение через 5 секунд:

   • Автобус: 600 м.
   • Мотоциклист: -350 м.

3. Встреча через 26.67 секунд в точке 1033.33 м.

4. Расстояние через 1.5 минуты: 3500 м.