Под каким углом к горизонту нужно бросить с Земли тело, чтобы его максимальная высота подъёма была в...

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть уравнения движения тела, брошенного под углом к горизонту. Мы используем классические формулы кинематики для движения тела в гравитационном поле без учета сопротивления воздуха.

1. Дальность полёта (R): [ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} ] где ( v_0 ) — начальная скорость, ( \theta ) — угол броска, ( g ) — ускорение свободного падения.

2. Максимальная высота подъёма (H): [ H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} ]

По условию задачи, максимальная высота подъёма должна быть в четыре раза меньше дальности полёта: [ H = \frac{1}{4}R ]

Подставим выражения для ( H ) и ( R ) в это условие: [ \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} = \frac{1}{4} \times \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} ]

Упростим это уравнение: [ \frac{\sin^2(\theta)}{2} = \frac{1}{4} \sin(2\theta) ]

Используем тригонометрическую тождество ( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) ): [ \frac{\sin^2(\theta)}{2} = \frac{1}{4} \times 2\sin(\theta)\cos(\theta) ]

Упростим: [ \sin^2(\theta) = \frac{1}{2} \sin(\theta)\cos(\theta) ]

Разделим обе части на (\sin(\theta)), при условии, что (\sin(\theta) \neq 0): [ \sin(\theta) = \frac{1}{2} \cos(\theta) ]

Разделим обе части на (\cos(\theta)): [ \tan(\theta) = \frac{1}{2} ]

Найдем угол (\theta): [ \theta = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) ]

Таким образом, угол, под которым нужно бросить тело, чтобы максимальная высота подъёма была в четыре раза меньше дальности полёта, равен (\arctan\left(\frac{1}{2}\right)). Это примерно (26.565^\circ).

Для того чтобы максимальная высота подъема была в четыре раза меньше дальности полета, необходимо бросить тело под углом 45 градусов к горизонту. Этот угол является оптимальным для достижения максимальной дальности полета при заданной начальной скорости броска. При таком угле броска горизонтальная и вертикальная составляющие скорости равны, что позволяет телу достигнуть максимальной высоты подъема, равной четверти дальности полета.