Подвешенный на нити шарик массой 100 г отклонили от положения равновесия на угол 60° и отпустили. 1) Чему равна сила натяжения нити в этот момент времени? 2) С какой скоростью шарик пройдет положение равновесия, если сила натяжения нити при этом будет равна 1,25 Н? длина нити 1,6 м.
1) Для определения силы натяжения нити в момент, когда шарик отклонён на угол 60°, можно использовать уравнения сил.
Сила тяжести ( F_g = mg = 0,1 \, \text{кг} \cdot 9,81 \, \text{м/с}^2 = 0,981 \, \text{Н} ).
Сила натяжения ( T ) составит:
[ T = F_g \cdot \cos(\theta) + F_c, ]
где ( F_c ) — центростремительная сила, которая зависит от скорости. В момент, когда шарик только отпустили, центростремительная сила равна нулю.
Таким образом,
[ T = 0,981 \cdot \cos(60°) = 0,981 \cdot 0,5 = 0,4905 \, \text{Н}. ]
2) Чтобы найти скорость шарика в положении равновесия, можно использовать закон сохранения энергии. Потенциальная энергия в верхней точке преобразуется в кинетическую в нижней.
Потенциальная энергия ( PE = mgh ), где ( h = l - l \cdot \cos(\theta) ).
В этом случае:
[ h = 1,6 \, \text{м} - 1,6 \cdot \cos(60°) = 1,6 \, \text{м} - 0,8 \, \text{м} = 0,8 \, \text{м}. ]
Тогда,
[ PE = mg \cdot h = 0,1 \cdot 9,81 \cdot 0,8 = 0,7848 \, \text{Дж}. ]
Кинетическая энергия в положении равновесия:
[ KE = \frac{mv^2}{2}. ]
Приравниваем потенциальную и кинетическую энергии:
[ 0,7848 = \frac{0,1 \cdot v^2}{2}. ]
Решая уравнение, получаем:
[ v^2 = \frac{2 \cdot 0,7848}{0,1} = 15,696 ]
[ v \approx \sqrt{15,696} \approx 3,96 \, \text{м/с}. ]
Таким образом, скорость шарика в положении равновесия будет примерно 3,96 м/с.
Рассмотрим задачи по порядку и подробно разберем каждую из них.
Шарик массой ( m = 0,1 \, \text{кг} ) подвешен на нити и отклонен от положения равновесия на угол ( \theta = 60^\circ ).
Для анализа используем законы статики и свойства тригонометрии. На шарик действуют две основные силы:
При неподвижном состоянии шарика (в момент максимального отклонения) сила натяжения имеет компоненты:
Запишем уравнение для вертикальной составляющей: [ T \cos \theta = F_g. ]
Подставим величины: ( F_g = m g = 0,1 \cdot 9,8 = 0,98 \, \text{Н} ). Таким образом: [ T \cos 60^\circ = 0,98. ]
Значение ( \cos 60^\circ = 0,5 ). Подставляем в уравнение: [ T \cdot 0,5 = 0,98 \implies T = \frac{0,98}{0,5} = 1,96 \, \text{Н}. ]
Итак, сила натяжения нити в момент отклонения на угол ( 60^\circ ) равна: [ T = 1,96 \, \text{Н}. ]
Шарик проходит положение равновесия с некоторой скоростью. В этом положении сила натяжения нити ( T = 1,25 \, \text{Н} ).
Сила натяжения нити в положении равновесия складывается из:
Запишем уравнение для силы натяжения: [ T = F_g + F_c. ]
Выразим ( F_c ): [ F_c = T - F_g. ]
Подставим значения: ( F_g = 0,98 \, \text{Н} ), ( T = 1,25 \, \text{Н} ): [ F_c = 1,25 - 0,98 = 0,27 \, \text{Н}. ]
Теперь найдем центростремительное ускорение ( a_c ): [ F_c = m a_c \implies a_c = \frac{F_c}{m}. ]
Подставим значения: ( m = 0,1 \, \text{кг} ), ( F_c = 0,27 \, \text{Н} ): [ a_c = \frac{0,27}{0,1} = 2,7 \, \text{м/с}^2. ]
Центростремительное ускорение связано со скоростью движения тела по окружности радиуса ( R ) формулой: [ a_c = \frac{v^2}{R}. ]
Выразим скорость ( v ): [ v = \sqrt{a_c R}. ]
Радиус ( R ) равен длине нити, так как шарик движется по дуге окружности: ( R = 1,6 \, \text{м} ). Подставим значения: [ v = \sqrt{2,7 \cdot 1,6}. ]
Посчитаем: [ v = \sqrt{4,32} \approx 2,08 \, \text{м/с}. ]
Итак, скорость шарика в положении равновесия равна: [ v \approx 2,08 \, \text{м/с}. ]
Чтобы решить задачи, давайте сначала разберемся с физическими принципами, которые задействованы в этой ситуации.
Для начала определим силы, действующие на шарик в этот момент. На шарик действуют:
Сначала найдем силу тяжести:
[ F_g = mg = 0,1 \, \text{кг} \times 9,81 \, \text{м/с}^2 \approx 0,981 \, \text{Н} ]
Теперь, используя угол отклонения ( \theta = 60° ), разложим силу тяжести на две компоненты: одну вдоль нити и одну перпендикулярно. Компонента, направленная вдоль нити, равна:
[ F_{g \parallel} = F_g \sin(\theta) = 0,981 \, \text{Н} \cdot \sin(60°) = 0,981 \, \text{Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,850 \, \text{Н} ]
Компонента, перпендикулярная нити, равна:
[ F_{g \perp} = F_g \cos(\theta) = 0,981 \, \text{Н} \cdot \cos(60°) = 0,981 \, \text{Н} \cdot \frac{1}{2} \approx 0,4905 \, \text{Н} ]
В момент, когда шарик отклонен, сила натяжения ( T ) уравновешивает как компоненту тяжести, направленную вдоль нити, так и компоненту перпендикулярно (в данном случае у нас нет ускорения по вертикали):
[ T - F_{g \parallel} = 0 ]
Таким образом, сила натяжения в момент отклонения будет равна:
[ T = F_{g \parallel} = 0,850 \, \text{Н} ]
Когда шарик проходит через положение равновесия, сила натяжения будет больше, чем в момент отклонения, так как в этом положении шарик будет иметь ускорение вниз. В этом случае:
[ T - F_g = m a ]
где ( a ) — центростремительное ускорение.
Подставим известные величины:
[ 1,25 \, \text{Н} - 0,981 \, \text{Н} = 0,1 \, \text{кг} \cdot a ]
Решим уравнение:
[ 0,269 \, \text{Н} = 0,1 \, \text{кг} \cdot a \implies a = \frac{0,269 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}} = 2,69 \, \text{м/с}^2 ]
Теперь найдем скорость шарика в положении равновесия. Мы можем использовать закон сохранения энергии. Потенциальная энергия, когда шарик был отклонен, преобразуется в кинетическую энергию и потенциальную энергию в положении равновесия.
Потенциальная энергия в начальном положении:
[ U = mgh ]
где ( h ) — высота, на которую поднимается шарик. Чтобы найти ( h ), используем длину нити ( L = 1,6 \, \text{м} ):
[ h = L - L \cos(\theta) = 1,6 \, \text{м} - 1,6 \, \text{м} \cdot \cos(60°) = 1,6 \, \text{м} - 1,6 \, \text{м} \cdot 0,5 = 1,6 \, \text{м} - 0,8 \, \text{м} = 0,8 \, \text{м} ]
Теперь подставим значение ( h ) в формулу для потенциальной энергии:
[ U = mg h = 0,1 \, \text{кг} \cdot 9,81 \, \text{м/с}^2 \cdot 0,8 \, \text{м} \approx 0,7848 \, \text{Дж} ]
Кинетическая энергия в положении равновесия:
[ K = \frac{1}{2} mv^2 ]
Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия в начальном положении равна кинетической энергии в положении равновесия:
[ U = K \implies 0,7848 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \, \text{кг} \cdot v^2 ]
Решая это уравнение:
[ 0,7848 = 0,05 v^2 \implies v^2 = \frac{0,7848}{0,05} = 15,696 \implies v \approx \sqrt{15,696} \approx 3,96 \, \text{м/с} ]
Таким образом, скорость шарика в положении равновесия составляет примерно 3,96 м/с.
