Подвешенный на нити шарик массой m = 200 г отклоняют на угол α = 45°. Определите силу натяжения нити...

Для решения задачи необходимо понять динамику движения шарика в момент прохождения положения равновесия. В этом положении вся потенциальная энергия, накопленная при отклонении шарика, преобразуется в кинетическую энергию.

1. Исходные данные:

   • Масса шарика ( m = 200 ) г = 0,2 кг.
   • Угол отклонения ( \alpha = 45^\circ ).

2. Потенциальная энергия в начальном положении: При отклонении на угол ( \alpha ) шарик поднимается на высоту ( h ). Высота ( h ) может быть найдена через длину нити ( l ) и угол отклонения ( \alpha ): [ h = l - l \cos(\alpha) = l (1 - \cos(\alpha)). ]

   Потенциальная энергия ( E_p ) в начальном положении: [ E_p = mgh, ] где ( g ) — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²).

3. Кинетическая энергия в положении равновесия: В положении равновесия вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую: [ E_k = E_p = mgh. ]

4. Скорость шарика в положении равновесия: Кинетическая энергия: [ E_k = \frac{1}{2} mv^2. ] Приравниваем кинетическую энергию к потенциальной: [ \frac{1}{2} mv^2 = mgh. ] Отсюда находим скорость ( v ): [ v = \sqrt{2gh}. ]

5. Сила натяжения нити в положении равновесия: В положении равновесия на шарик действуют две силы: сила тяжести ( mg ) и центростремительная сила, обусловленная движением шарика по окружности: [ F_c = \frac{mv^2}{l}. ]

   Сила натяжения нити ( T ) является суммой этих двух сил: [ T = mg + F_c. ] Подставим ( v ): [ T = mg + \frac{m(2gh)}{l}. ]

6. Высота ( h ) и длина нити ( l ): Подставим ( h ): [ h = l (1 - \cos(\alpha)). ] Тогда: [ T = mg + \frac{m(2g l (1 - \cos(\alpha)))}{l}. ]

7. Упрощение выражения: [ T = mg + 2m g (1 - \cos(\alpha)). ] [ T = mg (1 + 2(1 - \cos(\alpha))). ] [ T = mg (1 + 2 - 2 \cos(\alpha)). ] [ T = mg (3 - 2 \cos(\alpha)). ]

8. Подстановка численных значений: [ T = 0,2 \times 9,8 \times (3 - 2 \cos(45^\circ)). ] [ \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. ] [ T = 0,2 \times 9,8 \times \left( 3 - 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right). ] [ T = 0,2 \times 9,8 \times (3 - \sqrt{2}). ]

   Приблизительно: [ \sqrt{2} \approx 1,414. ] [ T = 0,2 \times 9,8 \times (3 - 1,414). ] [ T = 0,2 \times 9,8 \times 1,586. ] [ T \approx 0,2 \times 15,5428. ] [ T \approx 3,10856 \text{ Н}. ]

Таким образом, сила натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия составляет примерно 3,11 Н.

Сила натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия равна силе тяжести, направленной вдоль нити. Таким образом, сила натяжения будет равна весу шарика, умноженному на косинус угла отклонения:

T = m g cos(α) T = 0.2 кг 9.8 м/с^2 cos(45°) = 1.37 Н

Для определения силы натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии.

Когда шарик проходит через положение равновесия, его кинетическая энергия равна потенциальной энергии. Потенциальная энергия шарика в положении равновесия равна нулю, так как нить вертикальна. Кинетическая энергия шарика в этот момент равна ( \frac{1}{2}mv^2 ), где v - скорость шарика в положении равновесия.

Наивысшей точкой движения шарика является положение максимального отклонения, где потенциальная энергия превратилась в кинетическую. Таким образом, кинетическая энергия в положении максимального отклонения равна потенциальной энергии в положении равновесия.

Потенциальная энергия шарика в положении максимального отклонения равна ( mgh ), где h - высота подъема шарика от положения равновесия. По теореме косинусов, ( h = l(1 - \cos{\alpha}) ), где l - длина нити.

Таким образом, можно записать уравнение: [ mgh = \frac{1}{2}mv^2 ] [ mg \cdot l(1 - \cos{\alpha}) = \frac{1}{2}mv^2 ] [ mg \cdot l(1 - \cos{45°}) = \frac{1}{2}mv^2 ] [ mg \cdot l \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}mv^2 ]

Отсюда можно выразить скорость шарика в положении равновесия: [ v^2 = 2g \cdot l \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) ] [ v = \sqrt{2g \cdot l \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} ]

Сила натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия равна центростремительной силе, которая равна ( \frac{mv^2}{l} ). Подставляя найденное значение скорости v, получаем: [ F{\text{нат}} = \frac{m \cdot 2g \cdot l \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}{l} ] [ F{\text{нат}} = 2m \cdot g \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) ] [ F{\text{нат}} = 2 \cdot 0.2 \cdot 9.81 \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) ] [ F{\text{нат}} ≈ 3.91 \, \text{Н} ]

Итак, сила натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия составляет примерно 3.91 Н.