Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы и находится от нее на расстоянии d=2F где F - фокусное расстояние линзы. Во сколько раз изменится увеличение, если расстояние от предмета до линзы увеличить в k=2 раза?
Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы и находится от нее на расстоянии d=2F где F - фокусное расстояние линзы. Во сколько раз изменится увеличение, если расстояние от предмета до линзы увеличить в k=2 раза?
Пусть исходное увеличение предмета равно У1. После увеличения расстояния от предмета до линзы в k=2 раза, новое расстояние от линзы до предмета станет d'=2kF=4F. Так как предмет находится на расстоянии 2F от линзы, то это означает, что новое положение предмета находится на 2F от фокуса линзы в том же направлении, что и старое положение предмета.
Таким образом, новое увеличение предмета можно найти как отношение расстояния от линзы до изображения (d') к фокусному расстоянию линзы (F). То есть, новое увеличение У2 = -d'/F = -4F/F = -4.
Из этого следует, что увеличение уменьшилось в 4 раза.
Для решения этой задачи сначала рассмотрим формулу тонкой линзы:
[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ]
где ( f ) — фокусное расстояние линзы, ( d_o ) — расстояние от предмета до линзы, и ( d_i ) — расстояние от изображения до линзы.
Также используем формулу линейного увеличения:
[ M = -\frac{d_i}{d_o} ]
Шаг 1: Исходное положение предмета
В исходной ситуации у нас ( d_o = 2F ). Подставим это значение в уравнение тонкой линзы:
[ \frac{1}{F} = \frac{1}{2F} + \frac{1}{d_i} ]
Отсюда найдем ( d_i ):
[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F} ]
Следовательно, ( d_i = 2F ).
Теперь вычислим увеличение ( M_1 ):
[ M_1 = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{2F}{2F} = -1 ]
Шаг 2: Новое положение предмета
Теперь увеличим расстояние от предмета до линзы в ( k = 2 ) раза: ( d_o' = 4F ).
Подставим это в уравнение тонкой линзы:
[ \frac{1}{F} = \frac{1}{4F} + \frac{1}{d_i'} ]
Отсюда найдем ( d_i' ):
[ \frac{1}{d_i'} = \frac{1}{F} - \frac{1}{4F} = \frac{3}{4F} ]
Следовательно, ( d_i' = \frac{4F}{3} ).
Теперь вычислим новое увеличение ( M_2 ):
[ M_2 = -\frac{d_i'}{d_o'} = -\frac{\frac{4F}{3}}{4F} = -\frac{1}{3} ]
Шаг 3: Сравнение увеличений
Теперь сравним первоначальное и новое увеличение:
[ \frac{M_2}{M_1} = \frac{-\frac{1}{3}}{-1} = \frac{1}{3} ]
Таким образом, увеличение уменьшится в 3 раза.
Увеличение изменится в 4 раза.
