Приемный колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=1,0 мкГн. Какова емкость конденсатора...

Для решения задачи, нам необходимо использовать формулы, связывающие длину волны, частоту и параметры колебательного контура.

1. Определим частоту волн. Длина волны (\lambda) и частота (f) связаны между собой соотношением: [ f = \frac{c}{\lambda} ] где (c) — скорость распространения электромагнитных волн. Подставим известные значения: [ \lambda = 100 \, \text{м}, \quad c = 3,0 \times 10^8 \, \text{м/с} ] [ f = \frac{3,0 \times 10^8 \, \text{м/с}}{100 \, \text{м}} = 3,0 \times 10^6 \, \text{Гц} = 3,0 \, \text{МГц} ]

2. Определим реактивное сопротивление конденсатора. В колебательном контуре, настроенном на определенную частоту, индуктивное и емкостное сопротивление уравновешивают друг друга. Для этого используем следующее соотношение: [ \omega = 2\pi f ] где (\omega) — угловая частота. Подставляем значение (f): [ \omega = 2\pi \cdot 3,0 \times 10^6 \, \text{Гц} \approx 1,884 \times 10^7 \, \text{рад/с} ]

3. Используем формулу для колебательного контура. Для колебательного контура, состоящего из катушки и конденсатора, выполняется следующее соотношение: [ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} ] где (L) — индуктивность катушки, (C) — емкость конденсатора. Из этого уравнения можем выразить емкость (C): [ C = \frac{1}{\omega^2 L} ]

4. Подставим известные значения. Индуктивность (L = 1,0 \, \mu\text{Гн} = 1,0 \times 10^{-6} \, \text{Гн}): [ C = \frac{1}{(1,884 \times 10^7)^2 \cdot (1,0 \times 10^{-6})} ]

   Рассчитаем (C): [ C = \frac{1}{3,548 \times 10^{14} \cdot 1,0 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3,548 \times 10^{8}} \approx 2,82 \times 10^{-9} \, \text{Ф} ] То есть: [ C \approx 2,82 \, \text{нФ} ]

Таким образом, емкость конденсатора в колебательном контуре, настроенном на длину волны 100 м, составляет примерно 2,82 нФ.

Чтобы определить емкость ( C ) конденсатора в приемном колебательном контуре, начнем с основных формул, описывающих резонансную частоту контура и взаимосвязь длины волны с частотой.

Шаг 1. Связь длины волны и частоты

Длина волны ( \lambda ) связана со скоростью распространения электромагнитных волн ( c ) и частотой ( f ) следующим уравнением: [ \lambda = \frac{c}{f}. ] Отсюда можем выразить частоту: [ f = \frac{c}{\lambda}. ]

Подставим значения: [ f = \frac{3,0 \cdot 10^8}{100} = 3,0 \cdot 10^6 \, \text{Гц}. ]

Итак, частота колебаний ( f = 3,0 \, \text{МГц} ).

Шаг 2. Резонансная частота колебательного контура

Резонансная частота ( f ) колебательного контура определяется формулой: [ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}}, ] где ( L ) — индуктивность катушки, а ( C ) — емкость конденсатора.

Выразим ( C ) из этой формулы: [ C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L}. ]

Шаг 3. Подставим известные значения

1. Индуктивность ( L = 1,0 \, \mu\text{Гн} = 1,0 \cdot 10^{-6} \, \text{Гн} ),
2. Частота ( f = 3,0 \cdot 10^6 \, \text{Гц} ).

Подставляем в формулу для ( C ): [ C = \frac{1}{(2\pi \cdot 3,0 \cdot 10^6)^2 \cdot 1,0 \cdot 10^{-6}}. ]

Сначала вычислим знаменатель: [ 2\pi \cdot 3,0 \cdot 10^6 \approx 18,85 \cdot 10^6. ] Квадрат этого значения: [ (18,85 \cdot 10^6)^2 \approx 355,3 \cdot 10^{12}. ]

Теперь поделим: [ C = \frac{1}{355,3 \cdot 10^{12} \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{355,3 \cdot 10^6}. ]

Далее: [ C \approx 2,81 \cdot 10^{-9} \, \text{Ф}. ]

Ответ:

Емкость конденсатора ( C ) составляет примерно: [ C \approx 2,8 \, \text{нФ} \, (\text{нанофарад}). ]