Радиус некоторой планеты в 6 раз больше радиуса земли,а ее плотность в 1,2 раза меньше плотности земли....

Давайте решим задачу последовательно и подробно.

Дано:

1. Радиус планеты ( R_p = 6R_z ), где ( R_z ) — радиус Земли.
2. Плотность планеты ( \rho_p = 0.83\rho_z ), где ( \rho_z ) — плотность Земли.
3. Ускорение свободного падения на поверхности Земли ( g_z ).

Найти:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты ( g_p ).

Формула для ускорения свободного падения:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно выразить через закон всемирного тяготения:

[ g = \frac{G M}{R^2}, ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса планеты,
• ( R ) — радиус планеты.

Массу планеты ( M ) можно выразить через её плотность ( \rho ) и объём ( V ):

[ M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3. ]

Подставим это в формулу для ускорения:

[ g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2}. ]

Сокращая ( R^2 ), получаем:

[ g = \frac{4}{3} \pi G \rho R. ]

Сравнение ускорений ( g_p ) и ( g_z ):

Для Земли:

[ g_z = \frac{4}{3} \pi G \rho_z R_z. ]

Для планеты:

[ g_p = \frac{4}{3} \pi G \rho_p R_p. ]

Теперь найдём отношение ( \frac{g_p}{g_z} ):

[ \frac{g_p}{g_z} = \frac{\rho_p R_p}{\rho_z R_z}. ]

Подставим значения из условия задачи:

• ( R_p = 6R_z ),
• ( \rho_p = 0.83\rho_z ).

Тогда:

[ \frac{g_p}{g_z} = \frac{(0.83\rho_z)(6R_z)}{\rho_z R_z}. ]

Сокращаем ( \rho_z ) и ( R_z ):

[ \frac{g_p}{g_z} = 0.83 \cdot 6 = 4.98. ]

Таким образом:

[ g_p = 4.98g_z. ]

Ускорение свободного падения на поверхности планеты:

Ускорение свободного падения на Земле ( g_z ) равно примерно ( 9.8 \, \text{м/с}^2 ). Тогда:

[ g_p = 4.98 \cdot 9.8 \approx 48.8 \, \text{м/с}^2. ]

Ответ:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты составляет примерно 48.8 м/с².

Для определения ускорения свободного падения на поверхности планеты можно воспользоваться формулой для гравитационного ускорения:

[ g = \frac{GM}{R^2} ]

где ( g ) — ускорение свободного падения, ( G ) — гравитационная постоянная, ( M ) — масса планеты, ( R ) — радиус планеты.

1. Определим радиус и плотность планеты:

Радиус планеты ( R_p ) в 6 раз больше радиуса Земли ( R_e ):

[ R_p = 6R_e ]

Плотность планеты ( \rho_p ) в 1,2 раза меньше плотности Земли ( \rho_e ):

[ \rho_p = \frac{\rho_e}{1.2} ]

1. Вычислим массу планеты:

Масса планеты рассчитывается по формуле:

[ M = \rho V ]

где ( V ) — объем планеты. Объем сферы можно вычислить по формуле:

[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 ]

Таким образом, объем планеты будет:

[ V_p = \frac{4}{3} \pi (R_p)^3 = \frac{4}{3} \pi (6R_e)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 R_e^3 = 288 \pi R_e^3 ]

Теперь подставим это значение в формулу для массы:

[ M_p = \rho_p V_p = \frac{\rho_e}{1.2} \cdot 288 \pi R_e^3 ]

Теперь подставим значение плотности Земли ( \rho_e ):

[ M_p = \frac{\rho_e}{1.2} \cdot 288 \pi R_e^3 = \frac{288 \pi \rho_e R_e^3}{1.2} ]

1. Теперь подставим значения радиуса и массы в формулу для ускорения свободного падения:

[ g_p = \frac{G M_p}{R_p^2} ]

Подставим найденное значение массы ( M_p ) и радиус ( R_p ):

[ g_p = \frac{G \cdot \frac{288 \pi \rho_e R_e^3}{1.2}}{(6R_e)^2} ]

[ g_p = \frac{G \cdot \frac{288 \pi \rho_e R_e^3}{1.2}}{36R_e^2} ]

[ g_p = \frac{G \cdot 288 \pi \rho_e R_e}{1.2 \cdot 36} ]

1. Упростим выражение:

Теперь рассчитаем коэффициенты:

[ g_p = \frac{G \cdot 288 \pi \rho_e R_e}{43.2} ]

Мы знаем, что:

[ g_e = \frac{G \cdot M_e}{R_e^2} ]

где ( M_e = \rho_e \cdot V_e = \rho_e \cdot \frac{4}{3} \pi R_e^3 ).

Таким образом, ( g_e ) можно выразить как:

[ g_e = \frac{G \cdot \rho_e \cdot \frac{4}{3} \pi R_e^3}{R_e^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho_e R_e ]

Теперь выразим ( g_p ) через ( g_e ):

[ g_p = \frac{288 \cdot g_e}{43.2 \cdot 1.2} ]

Теперь вычислим:

[ g_p = \frac{288}{51.84} g_e ]

[ g_p \approx 5.54 g_e ]

С учетом того, что ( g_e \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ):

[ g_p \approx 5.54 \cdot 9.81 \approx 54.37 \, \text{м/с}^2 ]

Таким образом, ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты составляет приблизительно 54.37 м/с².

Чтобы определить ускорение свободного падения на планете, можно использовать формулу:

[ g = \frac{GM}{R^2} ]

где ( G ) — гравитационная постоянная, ( M ) — масса планеты, ( R ) — радиус планеты.

Сначала найдем массу планеты. Масса связана с объемом и плотностью:

[ M = \rho V ]

Объем сферы рассчитывается по формуле:

[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 ]

Для планеты радиусом ( R_p = 6R_e ) (где ( R_e ) — радиус Земли):

[ V_p = \frac{4}{3} \pi (6R_e)^3 = \frac{4}{3} \pi 216 R_e^3 = 288\pi R_e^3 ]

Плотность планеты ( \rho_p = \frac{\rho_e}{1.2} ):

Теперь подставим массу планеты:

[ M_p = \rho_p V_p = \left(\frac{\rho_e}{1.2}\right) \left(288\pi R_e^3\right) = \frac{288\pi \rho_e R_e^3}{1.2} ]

Теперь подставим это в формулу для ( g ):

[ g_p = \frac{G M_p}{R_p^2} = \frac{G \cdot \frac{288\pi \rho_e R_e^3}{1.2}}{(6 R_e)^2} ]

Считаем:

[ g_p = \frac{G \cdot \frac{288\pi \rho_e R_e^3}{1.2}}{36 R_e^2} = \frac{G \cdot 288\pi \rho_e R_e}{43.2} ]

Так как ускорение свободного падения на Земле:

[ g_e = \frac{G \cdot 4\pi \rho_e R_e}{3} ]

Теперь найдем отношение:

[ \frac{g_p}{g_e} = \frac{288 / 43.2}{4/3} = \frac{288 \cdot 3}{4 \cdot 43.2} = \frac{864}{172.8} = 5 ]

Таким образом, ускорение свободного падения на планете:

[ g_p = 5 g_e ]

Принимая ( g_e \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ):

[ g_p \approx 5 \cdot 9.81 \approx 49.05 \, \text{м/с}^2 ]

Ускорение свободного падения на поверхности планеты примерно равно ( 49.05 \, \text{м/с}^2 ).