С какой начальной скоростью надо бросить вниз с высоты 3,55 м мяч, чтобы он после удара о землю подпрыгнул на высоту 2,7 м, если известно, что при ударе модуль импульса мяча уменьшается на 25%? Сопротивлением воздуха пренебречь.
С какой начальной скоростью надо бросить вниз с высоты 3,55 м мяч, чтобы он после удара о землю подпрыгнул на высоту 2,7 м, если известно, что при ударе модуль импульса мяча уменьшается на 25%? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Для решения этой задачи можно воспользоваться законами сохранения энергии и импульса.
Пусть начальная скорость, с которой бросили мяч, равна V, а его масса равна m.
Используем закон сохранения энергии:
1) Потенциальная энергия в начальный момент (при броске) = кинетическая энергия в момент удара о землю: mgh = (mv^2)/2
где h = 3,55 м - высота, с которой бросили мяч, v - скорость мяча в момент удара о землю.
2) Потенциальная энергия в момент удара о землю = кинетическая энергия в момент отскока: mgh' = (mv'^2)/2
где h' = 2,7 м - высота, на которую подпрыгнул мяч после удара, v' - скорость мяча в момент отскока.
Также используем закон сохранения импульса:
3) mv = mv' * (1 - 0,25)
Подставляем значения из уравнений (1) и (2) в уравнение (3) и найдем начальную скорость V. Получаем:
m sqrt(2gh) = m sqrt(2gh') * (1 - 0,25)
sqrt(2gh) = sqrt(2gh') * (1 - 0,25)
sqrt(2 9,8 3,55) = sqrt(2 9,8 2,7) * 0,75
sqrt(68,62) = sqrt(53,46) * 0,75
8,28 = 7,31 * 0,75
8,28 = 5,48
Таким образом, начальную скорость, с которой надо бросить мяч вниз с высоты 3,55 м, чтобы он после удара о землю подпрыгнул на высоту 2,7 м, равна 8,28 м/с.
Для решения задачи нам нужно использовать законы сохранения энергии и импульса.
Определите скорость мяча после удара о землю:
Когда мяч подпрыгивает на высоту 2,7 м, его кинетическая энергия в момент отрыва от земли будет равна потенциальной энергии на высоте 2,7 м.
Потенциальная энергия на высоте 2,7 м: [ E_{\text{пот}} = mgh_1 = mg \times 2,7 ]
Кинетическая энергия сразу после удара: [ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v_1^2 ]
Приравниваем: [ \frac{1}{2} m v_1^2 = mg \times 2,7 ]
Упростим уравнение (массой сокращаем): [ v_1^2 = 2g \times 2,7 ]
[ v_1 = \sqrt{2g \times 2,7} ]
Подставим ( g = 9,81 \, \text{м/с}^2 ): [ v_1 = \sqrt{2 \times 9,81 \times 2,7} \approx \sqrt{52,974} \approx 7,28 \, \text{м/с} ]
Найдите скорость мяча перед ударом о землю:
По условию, модуль импульса мяча уменьшается на 25% при ударе. Это значит, что скорость мяча перед ударом ( v_0 ) больше, чем скорость после удара.
Уравнение изменения импульса: [ m v_1 = 0,75 \times m v_0 ]
[ v_0 = \frac{v_1}{0,75} = \frac{7,28}{0,75} \approx 9,71 \, \text{м/с} ]
Найдите начальную скорость, необходимую для достижения скорости ( v_0 ) при падении:
Используем закон сохранения энергии. Кинетическая энергия на высоте 3,55 м до падения должна равняться кинетической энергии перед ударом плюс потенциальная энергия на высоте 3,55 м.
Потенциальная энергия на высоте 3,55 м: [ E_{\text{пот}} = mgh_2 = mg \times 3,55 ]
Кинетическая энергия перед ударом: [ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v_0^2 ]
Начальная кинетическая энергия: [ E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m v_i^2 ]
Полное уравнение: [ \frac{1}{2} m v_i^2 + mg \times 3,55 = \frac{1}{2} m v_0^2 ]
Упростим: [ \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 - mg \times 3,55 ]
[ v_i^2 = v_0^2 - 2g \times 3,55 ]
[ v_i = \sqrt{v_0^2 - 2g \times 3,55} ]
Подставим известные значения: [ v_i = \sqrt{9,71^2 - 2 \times 9,81 \times 3,55} ]
[ v_i = \sqrt{94,3241 - 69,636} ]
[ v_i = \sqrt{24,6881} \approx 4,97 \, \text{м/с} ]
Таким образом, мяч нужно бросить вниз с начальной скоростью примерно ( 4,97 \, \text{м/с} ).
