Самолет выполняет «мертвую петлю» в вертикальной плоскости, двигаясь с постоянной но модулю скоростью. Определите минимальное значение скорости движения самолета при заданном радиусе «петли» (R0=90 м) и максимальное значение радиуса «петли» при заданной скорости движения самолета (v0=100 м/с)
Для выполнения мертвой петли самолет должен двигаться с достаточной скоростью, чтобы центростремительная сила была достаточной для преодоления силы тяжести. Минимальная скорость для выполнения мертвой петли определяется по формуле:
v_min = √(g * R0)
где g - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с^2), R0 - радиус петли.
Подставляя данные:
v_min = √(9.81 * 90) ≈ 30 м/с
Таким образом, минимальная скорость движения самолета для выполнения мертвой петли при радиусе 90 м составляет около 30 м/с.
Для определения максимального радиуса петли при заданной скорости движения самолета можно использовать ту же формулу, но переупорядочивая ее:
R_max = v0^2 / g
Подставляя данные:
R_max = (100)^2 / 9.81 ≈ 1019 м
Таким образом, максимальный радиус петли при скорости движения самолета 100 м/с составляет около 1019 м.
Чтобы решить задачу о "мертвой петле" в вертикальной плоскости, необходимо учесть условия, при которых пилот или самолет не испытывают перегрузки, превышающие допустимые значения, и при которых движение возможно без потери подъёмной силы.
При выполнении "мертвой петли" минимальная скорость в верхней точке петли определяется условием, что подъёмная сила и центробежная сила должны компенсировать силу тяжести. В верхней точке петли, чтобы самолет не "свалился", требуется, чтобы подъёмная сила была хотя бы равна нулю. Здесь сила тяжести обеспечивается только центробежной силой:
[ m \cdot g = \frac{m \cdot v^2}{R_0} ]
где:
Из этого уравнения можно выразить скорость:
[ v = \sqrt{g \cdot R_0} ]
Подставим значение радиуса:
[ v = \sqrt{9.81 \, \text{м/с}^2 \times 90 \, \text{м}} \approx \sqrt{882.9 \, \text{м}^2/\text{с}^2} \approx 29.7 \, \text{м/с} ]
Таким образом, минимальная скорость в верхней точке петли должна быть приблизительно ( 29.7 \, \text{м/с} ).
Теперь рассмотрим обратную задачу: найти максимальный радиус петли при заданной скорости ( v_0 = 100 \, \text{м/с} ). Используем то же условие, что и в предыдущем случае:
[ m \cdot g = \frac{m \cdot v_0^2}{R} ]
Выразим радиус:
[ R = \frac{v_0^2}{g} ]
Подставим значение скорости:
[ R = \frac{100^2 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{9.81 \, \text{м/с}^2} \approx \frac{10000}{9.81} \approx 1019 \, \text{м} ]
Таким образом, максимальный радиус петли при скорости ( 100 \, \text{м/с} ) составляет приблизительно ( 1019 \, \text{м} ).
Эти вычисления предполагают, что самолет способен поддерживать необходимую подъёмную силу и не выходит за пределы допустимых перегрузок для конструкции и экипажа.
