Шар скатывается без проскальзывания по наклонной ПЛОСКОСТИ высотой 50 см. Определить скорость шара в...

Для решения задачи о скорости шара, скатывающегося без проскальзывания по наклонной плоскости, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. В данной задаче мы будем считать, что на шар не действуют силы трения, и поэтому вся потенциальная энергия, которую шар имеет в начале, превращается в кинетическую энергию в конце.

1. Определение потенциальной энергии: Потенциальная энергия (ПЭ) шара на высоте h может быть выражена формулой: [ PE = mgh, ] где (m) — масса шара, (g) — ускорение свободного падения (примерно (9.81 \, \text{м/с}^2)), (h) — высота наклонной плоскости (в данном случае 50 см или 0.5 м).

   Подставим значения: [ PE = mg \cdot 0.5. ]

2. Определение кинетической энергии: Кинетическая энергия (КЭ) шара внизу наклонной плоскости при скорости (v) будет представлена как сумма поступательной и вращательной кинетической энергии: [ KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2, ] где (I) — момент инерции шара, а (\omega) — угловая скорость. Для однородного шара момент инерции относительно оси, проходящей через его центр, равен: [ I = \frac{2}{5}mr^2, ] где (r) — радиус шара.

   Учитывая, что при скатывании без проскальзывания выполняется связь между угловой и линейной скоростью: [ v = r\omega \implies \omega = \frac{v}{r}, ] подставим это в формулу кинетической энергии: [ KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}mr^2 \cdot \left(\frac{v}{r}\right)^2. ] Упростим: [ KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2. ]

3. Сохранение энергии: Учитывая, что вся потенциальная энергия в начале превращается в кинетическую энергию внизу наклонной плоскости, мы можем записать уравнение: [ mgh = \frac{7}{10}mv^2. ] Поскольку масса (m) присутствует в обеих частях уравнения, мы можем её сократить: [ gh = \frac{7}{10}v^2. ] Теперь выразим скорость (v): [ v^2 = \frac{10gh}{7} \implies v = \sqrt{\frac{10gh}{7}}. ]

4. Подставим значения: [ g = 9.81 \, \text{м/с}^2, \quad h = 0.5 \, \text{м}. ] [ v = \sqrt{\frac{10 \cdot 9.81 \cdot 0.5}{7}}. ] [ v = \sqrt{\frac{49.05}{7}} \approx \sqrt{7.007} \approx 2.65 \, \text{м/с}. ]

Таким образом, скорость шара в конце наклонной плоскости составляет примерно 2.65 м/с.

Рассмотрим задачу. Нам нужно определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Важным условием является то, что шар скатывается без проскальзывания, а значит, мы должны учитывать как поступательное, так и вращательное движение шара.

Дано:

• Высота наклонной плоскости: ( h = 50 \, \text{см} = 0,5 \, \text{м} ).
• Потерями энергии на трение пренебрегаем.
• Ускорение свободного падения: ( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 ).

Решение:

1. Применение закона сохранения энергии

В данной задаче используется закон сохранения механической энергии. Изначально у шара имеется только потенциальная энергия (он находится на высоте ( h )), а в конце наклонной плоскости вся энергия переходит в кинетическую, которая состоит из двух частей:

• кинетическая энергия поступательного движения: ( E_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2 );
• кинетическая энергия вращательного движения: ( E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2 ), где ( I ) — момент инерции шара относительно его оси, ( \omega ) — угловая скорость шара.

Таким образом, закон сохранения энергии принимает вид: [ m g h = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2. ]

2. Связь линейной и угловой скоростей

Так как шар скатывается без проскальзывания, его линейная скорость ( v ) и угловая скорость ( \omega ) связаны следующим соотношением: [ v = R \omega, ] где ( R ) — радиус шара.

3. Момент инерции шара

Для однородного твердого шара момент инерции относительно его оси вращения равен: [ I = \frac{2}{5} m R^2. ]

4. Подставляем зависимости

Подставляем ( I = \frac{2}{5} m R^2 ) и ( \omega = \frac{v}{R} ) в уравнение закона сохранения энергии. Получаем: [ m g h = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m R^2 \cdot \left( \frac{v}{R} \right)^2. ]

Упростим выражение: [ m g h = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m v^2. ]

Приведем к общему виду: [ m g h = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2. ]

Сложим дроби: [ m g h = \left( \frac{5}{10} + \frac{2}{10} \right) m v^2 = \frac{7}{10} m v^2. ]

Сократим массу ( m ) (она ненулевая) и выразим ( v^2 ): [ g h = \frac{7}{10} v^2. ]

Умножим обе части уравнения на ( \frac{10}{7} ): [ v^2 = \frac{10}{7} g h. ]

Найдем ( v ): [ v = \sqrt{\frac{10}{7} g h}. ]

5. Подставляем значения

Подставляем ( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 ) и ( h = 0,5 \, \text{м} ): [ v = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 9,8 \cdot 0,5}. ]

Проведем вычисления: [ v = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 4,9} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}. ]

Приблизительное значение: [ v \approx 2,65 \, \text{м/с}. ]

Ответ:

Скорость шара в конце наклонной плоскости составляет примерно ( v \approx 2,65 \, \text{м/с} ).