Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а второй — через 80 с после разрыва. Определите отношение масс осколков . Решите пожалуйста быстрее
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться уравнением движения для каждого из осколков.
Пусть масса снаряда до разрыва равна М, а скорость у первого осколка после разрыва равна V1, а у второго - V2. Также обозначим время до разрыва как t1.
Для первого осколка: V1 = 2 * 400 = 800 м/с t1 = t2 - 80
Для второго осколка: V2 = 0 (т.к. второй осколок упал вблизи точки выстрела) t2 = время полета снаряда = 2 * 400 / 9.8 = 81.63 сек
Из уравнения движения для первого осколка: 800 = 400 - 9.8 * t1 t1 = 40.8 сек
Теперь найдем массы осколков: М 400 = М1 800 + М2 * 0 М = М1 + М2
М t1 = М1 t1 + М2 (t1 + 80) М 40.8 = М1 40.8 + М2 120.8
Подставляем М = М1 + М2: (М1 + М2) 40.8 = М1 40.8 + М2 120.8 М2 40.8 = М2 * 120.8 М1 / М2 = 120.8 / 40.8 = 2.96
Ответ: отношение масс осколков равно примерно 2.96.
Чтобы решить эту задачу, используем законы сохранения энергии и импульса.
Определение высоты подъёма:
Сначала определим высоту, на которую поднялся снаряд. При движении вертикально вверх вся кинетическая энергия снаряда в начальной точке преобразуется в потенциальную энергию в наивысшей точке подъёма.
[ \frac{m v_0^2}{2} = mgh ]
где ( v_0 = 400 \, \text{м/с} ), ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ).
Решаем это уравнение для ( h ):
[ \frac{400^2}{2} = 9.8h \implies h = \frac{160000}{19.6} \approx 8163.27 \, \text{м} ]
Использование закона сохранения импульса:
В наивысшей точке подъёма скорость снаряда равна нулю. Когда он разрывается на два осколка, суммарный импульс осколков должен равняться нулю (в горизонтальной плоскости):
[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 ]
Из условия задачи: первый осколок падает со скоростью ( v_1 = 2 \times 400 = 800 \, \text{м/с} ).
Время падения второго осколка:
Второй осколок падает через ( t = 80 \, \text{с} ). Используем уравнение свободного падения:
[ h = \frac{1}{2} g t^2 ]
Подставляя значения:
[ 8163.27 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (80)^2 ]
Это уравнение подтверждает, что второй осколок падает вертикально, начальная скорость (вверх или вниз) равна нулю. Следовательно, ( v_2 = 0 ).
Отношение масс:
Из закона сохранения импульса:
[ m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = 0 \implies m_1 v_1 = m_2 \cdot 0 ]
Это уравнение не позволяет нам найти ( m_2 ) напрямую. Для этого воспользуемся импульсом второго осколка:
[ m_1 \times 800 = m_2 \times 0 ]
Следовательно, ( v_2 = 0 ).
Из уравнения ( m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 ) и ( v_2 = 0 ), мы получаем:
[ m_1 \times 800 = m_2 \times 0 \implies m_1 = m_2 ]
Следовательно, отношение масс ( m_1 : m_2 = 1:1 ).
Таким образом, массы осколков равны.
