Собственное время жизни t0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной...

Дано: t0 = 2 мкс = 210^-6 с, l = 6 км = 610^3 м

Из специальной теории относительности известно, что для частицы, движущейся со скоростью v относительно лабораторной системы отсчета, время жизни будет увеличено в γ раз, где γ - это гамма-фактор, равный 1/√(1-(v^2/c^2)), где c - скорость света.

Таким образом, время жизни в лабораторной системе отсчета будет равно t = t0 * γ.

Также известно, что расстояние, пройденное частицей в лабораторной системе отсчета, равно l = v*t.

Подставляем значения и получаем:

t = t0 γ t = 210^-6 * 1/√(1-(v^2/c^2))

l = vt 610^3 = v (210^-6 * 1/√(1-(v^2/c^2)))

Далее решаем уравнение относительно v. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(610^3)^2 = v^2 (210^-6)^2 1/(1-(v^2/c^2)) 3610^6 = v^2 410^-12 / (1-(v^2/c^2)) 3610^6 (1-(v^2/c^2)) = 410^-12 v^2 3610^6 - 3610^6 (v^2/c^2) = 410^-12 v^2 3610^6 = v^2(410^-12 + 3610^6/c^2) v^2 = 3610^6 / (410^-12 + 3610^6/c^2) v = √(3610^6 / (410^-12 + 36*10^6/c^2))

Подставляем значения c=3*10^8 м/с и решаем уравнение:

v = √(3610^6 / (410^-12 + 3610^6/(310^8)^2)) v = √(3610^6 / (410^-12 + 3610^6/910^16)) v = √(3610^6 / (410^-12 + 410^10/9)) v = √(3610^6 / (410^-12 + 4/9)) v = √(3610^6 / (410^-12 + 36/9)) v = √(3610^6 / (410^-12 + 4)) v = √(3610^6 / (4 + 4)) v = √(3610^6 / 8) v = √(4.510^6) v ≈ 2121.32 м/с

Таким образом, мезон двигался со скоростью приблизительно 2121.32 м/с, что составляет примерно 0.007 частей скорости света.

Для решения задачи о движении мю-мезона в лабораторной системе отсчета, нам нужно воспользоваться концепцией релятивистской динамики. Основной физический принцип, который здесь нужно учитывать, — это эффект замедления времени, связанный с движением со скоростью, близкой к скорости света.

Дано:

• Собственное время жизни мю-мезона ( t_0 = 2 \, \mu \text{с} ).
• Пройденное расстояние в лабораторной системе отсчета ( l = 6 \, \text{км} = 6000 \, \text{м} ).

Найти:

• Скорость мю-мезона ( v ) в долях скорости света ( c ).

Решение:

1. Эффект замедления времени: В релятивистской физике время, измеренное в системе отсчета, движущейся относительно наблюдателя, замедляется. Формула для замедления времени: [ t = \gamma t_0, ] где ( t ) — время жизни мю-мезона в лабораторной системе отсчета, ( t_0 ) — его собственное время жизни, а ( \gamma ) — лоренцевский фактор, который определяется выражением: [ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, ] где ( v ) — скорость мю-мезона, ( c ) — скорость света.

2. Связь расстояния и времени в лабораторной системе отсчета: В лабораторной системе отсчета мю-мезон проходит расстояние ( l ) за время ( t ): [ l = v t. ]

3. Подставляем выражение для ( t ) из формулы замедления времени: [ l = v (\gamma t_0). ]

4. Подставляем выражение для ( \gamma ): [ l = v \left( \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right). ]

5. Решаем это уравнение относительно ( v ): [ l = \frac{v t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. ]

6. Выразим ( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} ): [ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{v t_0}{l}. ]

7. Возведем обе части уравнения в квадрат: [ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left( \frac{v t_0}{l} \right)^2. ]

8. Преобразуем к виду: [ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{v^2 t_0^2}{l^2}. ]

9. Переносим ( \frac{v^2}{c^2} ) в правую часть уравнения: [ 1 = \frac{v^2 t_0^2}{l^2} + \frac{v^2}{c^2}. ]

10. Вынесем ( v^2 ) за скобки: [ 1 = v^2 \left( \frac{t_0^2}{l^2} + \frac{1}{c^2} \right). ]

11. Выразим ( v^2 ): [ v^2 = \frac{1}{\frac{t_0^2}{l^2} + \frac{1}{c^2}}. ]

12. Подставим ( t_0 ) и ( l ) в уравнение: [ v^2 = \frac{1}{\left(\frac{(2 \times 10^{-6})^2}{(6000)^2}\right) + \frac{1}{c^2}}. ]

13. Упростим выражение: [ v^2 = \frac{1}{\left(\frac{4 \times 10^{-12}}{36 \times 10^6}\right) + \frac{1}{c^2}} = \frac{1}{\left(\frac{4}{36} \times 10^{-18}\right) + \frac{1}{c^2}} = \frac{1}{\left(\frac{1}{9} \times 10^{-18}\right) + \frac{1}{c^2}}. ]

14. Рассчитаем знаменатель: [ \frac{1}{9} \times 10^{-18} = \frac{1}{9 \times 10^{18}} = \frac{1}{9 \times 10^{18}} = \frac{1}{9 \times 10^{18}} \approx 1.11 \times 10^{-19}. ]

15. Подставляем ( c \approx 3 \times 10^8 \, \text{м/с} ): [ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{1}{9 \times 10^{16}} = 1.11 \times 10^{-17}. ]

16. Суммируем знаменатели: [ v^2 = \frac{1}{1.11 \times 10^{-19} + 1.11 \times 10^{-17}} = \frac{1}{1.11 \times 10^{-17}}. ]

17. Рассчитываем ( v ): [ v^2 \approx (0.99c)^2. ]

18. Извлекаем корень: [ v \approx 0.99c. ]

Ответ:

Скорость мю-мезона в долях скорости света ( v \approx 0.99c ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу времени распада мезона в системе покоя и формулу времени распада мезона в лабораторной системе отсчета. Зная время жизни мезона в системе покоя t0, расстояние, которое он пролетел в лабораторной системе отсчета l и скорость v, мы можем выразить эту скорость.

1. В системе покоя:

t0 = t * sqrt(1 - v^2 / c^2)

где t - время распада мезона в лабораторной системе отсчета, c - скорость света.

1. В лабораторной системе отсчета:

t = l / v

Подставляем это в формулу для системы покоя:

t0 = (l / v) * sqrt(1 - v^2 / c^2)

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

t0 = l / v * sqrt(1 - v^2 / c^2)

t0 v = l sqrt(1 - v^2 / c^2)

t0^2 v^2 = l^2 (1 - v^2 / c^2)

t0^2 v^2 = l^2 - l^2 v^2 / c^2

t0^2 v^2 + l^2 v^2 / c^2 = l^2

v^2 * (t0^2 + l^2 / c^2) = l^2

v^2 = l^2 / (t0^2 + l^2 / c^2)

Подставляем известные значения:

v^2 = 6^2 / (2 10^-6)^2 + 6^2 / (3 10^8)^2

v^2 = 36 / 4 10^12 + 36 / 9 10^16

v^2 = 9 10^10 + 4 10^14

v^2 = 4 * 10^14

v = 2 * 10^7 m/s

Теперь можем выразить скорость мезона v в долях скорости света c:

v / c = (2 10^7) / (3 10^8) = 0.0667

Итак, мезон двигался со скоростью примерно 0.0667 скорости света.