Соленоид и резистор соединены параллельно и подключены к источнику токаю Определите количество теплоты, выделяющейся в резисторе сопротивлением R0, при отключении источника. Индуктивность и сопротивление соленоида равны соответственно L=20 Гн, R=10 Ом, сопротивление резистора R0=40 Ом, ЭДС источника Е=40 В.Сопротивление источника можно пренебречь.
Рассмотрим электрическую цепь, в которой соленоид и резистор ( R_0 ) соединены параллельно и подключены к источнику постоянного напряжения с ЭДС ( \mathcal{E} = 40 \, \text{В} ). После отключения источника происходит перераспределение энергии в цепи. Задача заключается в том, чтобы определить количество теплоты, выделившееся в резисторе ( R_0 ) после отключения источника.
Когда источник подключен, в цепи устанавливается стационарный режим. В этом режиме ток в соленоиде постоянен, и напряжение на соленоиде равно напряжению на резисторе ( R_0 ), так как они соединены параллельно. Стационарный ток через каждый из элементов можно найти по закону Ома.
[ I_{R_0} = \frac{\mathcal{E}}{R_0} = \frac{40}{40} = 1 \, \text{А}. ]
Общее сопротивление соленоида в стационарном режиме определяется сопротивлением его обмотки ( R = 10 \, \Omega ). Тогда ток через соленоид: [ I_R = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{40}{10} = 4 \, \text{А}. ]
Так как резистор и соленоид соединены параллельно, общий ток в цепи равен сумме токов через резистор и соленоид: [ I{\text{total}} = I{R_0} + I_R = 1 + 4 = 5 \, \text{А}. ]
В стационарном режиме в соленоиде создаётся магнитное поле, энергия которого определяется по формуле: [ W = \frac{1}{2} L I_R^2, ] где ( I_R ) — ток через соленоид.
Подставляя значения: [ W = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 16 = 160 \, \text{Дж}. ]
Таким образом, энергия магнитного поля соленоида до отключения источника составляет ( 160 \, \text{Дж} ).
Когда источник отключён, энергия магнитного поля соленоида начинает выделяться в виде тепла на сопротивлениях ( R ) и ( R_0 ), так как соленоид и резистор остаются соединёнными параллельно. Нам нужно определить, какая часть энергии выделяется именно на резисторе ( R_0 ).
Общее сопротивление цепи, в которой соединены соленоид (( R )) и резистор (( R0 )), определяется как: [ R{\text{экв}} = \frac{R \cdot R_0}{R + R0}. ] Подставим значения: [ R{\text{экв}} = \frac{10 \cdot 40}{10 + 40} = \frac{400}{50} = 8 \, \Omega. ]
Энергия магнитного поля соленоида ( W ) распределяется между сопротивлениями ( R ) и ( R_0 ) в соответствии с их долями в эквивалентном сопротивлении. Так как сопротивления соединены параллельно, доля энергии, выделяющейся на каждом из них, пропорциональна их проводимостям (( G = 1/R )).
Проводимость ( R ): [ G_R = \frac{1}{R} = \frac{1}{10} = 0{,}1. ]
Проводимость ( R0 ): [ G{R_0} = \frac{1}{R_0} = \frac{1}{40} = 0{,}025. ]
Общая проводимость: [ G_{\text{общ}} = GR + G{R_0} = 0{,}1 + 0{,}025 = 0{,}125. ]
Доля энергии, выделяющейся на резисторе ( R0 ): [ \eta{R0} = \frac{G{R0}}{G{\text{общ}}} = \frac{0{,}025}{0{,}125} = 0{,}2. ]
Количество теплоты, выделяющееся на ( R0 ): [ Q{R0} = \eta{R_0} \cdot W = 0{,}2 \cdot 160 = 32 \, \text{Дж}. ]
Количество теплоты, выделяющееся в резисторе ( R0 ), составляет ( Q{R_0} = 32 \, \text{Дж} ).
При отключении источника тока, в цепи с соленоидом и резистором происходит процесс, в котором энергия, запасенная в соленоиде, преобразуется в теплоту в резисторе.
Сначала находим общее время тока, которое протекает через резистор и соленоид, используя формулу для времени постоянного тока в цепи:
[ I = \frac{E}{R + R_0} = \frac{40 \, \text{В}}{10 \, \text{Ом} + 40 \, \text{Ом}} = \frac{40}{50} = 0.8 \, \text{А} ]
Теперь находим энергию, запасенную в соленоиде:
[ W = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \, \text{Гн} \cdot (0.8 \, \text{А})^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0.64 = 6.4 \, \text{Дж} ]
Эта энергия будет выделяться в резисторе R0 при отключении источника. Количество теплоты, выделяющееся в резисторе, равно этой энергии:
[ Q = W = 6.4 \, \text{Дж} ]
Таким образом, количество теплоты, выделяющейся в резисторе, равно 6.4 Дж.
Для решения задачи, давайте сначала рассмотрим, что происходит в цепи с соленоидом и резистором, когда подсоединен источник тока. В момент подключения источника, соленоид начинает накапливать энергию в своем магнитном поле.
При подключении источника к параллельному соединению соленоида и резистора, в цепи устанавливается постоянный ток. Ток в резисторе ( I_0 ) и в соленоиде ( I ) можно определить по закону Ома.
Для резистора: [ I_0 = \frac{E}{R_0} = \frac{40 \, \text{В}}{40 \, \text{Ом}} = 1 \, \text{А} ]
Для соленоида, его сопротивление ( R ) равно 10 Ом: [ I = \frac{E}{R} = \frac{40 \, \text{В}}{10 \, \text{Ом}} = 4 \, \text{А} ]
Таким образом, общее значение тока, протекающего через цепь, будет ( I_{total} = I + I_0 = 4 \, \text{А} + 1 \, \text{А} = 5 \, \text{А} ).
Соленоид накапливает энергию в магнитном поле, которая может быть рассчитана по формуле: [ E{mag} = \frac{1}{2} L I^2 ] Подставим значения: [ E{mag} = \frac{1}{2} \cdot 20 \, \text{Гн} \cdot (4 \, \text{А})^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 16 = 160 \, \text{Дж} ]
Когда источник отключается, индуктивность соленоида начинает разряжаться, и энергия, накопленная в его магнитном поле, будет выделяться в виде электрического тока. Этот ток будет протекать через параллельное соединение соленоида и резистора.
При разряде соленоида, энергия будет распределяться между резистором и самим соленоидом. Из-за параллельного соединения, напряжение на резисторе и соленоиде будет одинаковым. Пусть ( V ) — это напряжение, которое будет равно: [ V = I \cdot R = 4 \, \text{А} \cdot 10 \, \text{Ом} = 40 \, \text{В} ]
При этом весь ток, который разряжается из соленоида, будет протекать через резистор, выделяя при этом тепло.
Количество теплоты, выделяющееся в резисторе, можно найти по формуле: [ Q = I_0^2 R_0 t ]
Но для нахождения времени, за которое произойдет разряд, можно использовать ( L ) и ( R ). Время разряда определяется временем постоянной ( \tau = \frac{L}{R} ): [ \tau = \frac{L}{R} = \frac{20 \, \text{Гн}}{10 \, \text{Ом}} = 2 \, \text{с} ]
Теперь, зная, что весь ток будет разряжаться через резистор ( R0 ), мы можем выразить ( Q ): [ Q = E{mag} = \frac{1}{2} L I^2 = 160 \, \text{Дж} ]
Таким образом, количество теплоты, выделяющееся в резисторе при отключении источника тока составляет: [ Q = 160 \, \text{Дж} ]
Это и есть ответ на ваш вопрос о количестве теплоты, выделяющейся в резисторе.
