Спутник движется по круговой орбите на высоте h=2000 км от поверхности Земли. Определите его скорость...

Скорость спутника: v = √(GM/R), где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, R - радиус орбиты. Период вращения: T = 2πR/v.

Для определения скорости и периода вращения спутника на круговой орбите необходимо использовать законы небесной механики, в частности, закон всемирного тяготения и концепцию орбитальной механики.

1. Определение скорости спутника

Спутник, движущийся по круговой орбите, подвержен силе гравитации, которая играет роль центростремительной силы. Для спутника на круговой орбите выполняется следующее уравнение:

[ F{\text{грав}} = F{\text{центрострем}} ]

Где:

• ( F_{\text{грав}} = \frac{G M m}{r^2} ) — сила гравитации;
• ( F_{\text{центрострем}} = \frac{m v^2}{r} ) — центростремительная сила.

Здесь:

• ( G ) — гравитационная постоянная ((6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2));
• ( M ) — масса Земли ((5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}));
• ( m ) — масса спутника;
• ( r ) — расстояние от центра Земли до спутника;
• ( v ) — орбитальная скорость спутника.

Поскольку ( F{\text{грав}} = F{\text{центрострем}} ), уравнения сил можно приравнять:

[ \frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} ]

Упростим это уравнение:

[ v^2 = \frac{G M}{r} ]

Откуда:

[ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} ]

Расстояние ( r ) является суммой радиуса Земли ( R ) и высоты орбиты ( h ):

[ r = R + h = 6371 \, \text{км} + 2000 \, \text{км} = 8371 \, \text{км} = 8.371 \times 10^6 \, \text{м} ]

Теперь можем подставить значения в формулу для скорости:

[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{8.371 \times 10^6}} ]

[ v \approx \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{8.371 \times 10^6}} ]

[ v \approx \sqrt{4.761 \times 10^7} ]

[ v \approx 6903 \, \text{м/с} ]

2. Определение периода вращения спутника

Период вращения ( T ) — это время, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли. Он связан с орбитальной скоростью и длиной орбиты:

[ T = \frac{2 \pi r}{v} ]

Подставим найденные значения ( r ) и ( v ):

[ T = \frac{2 \pi \times 8.371 \times 10^6}{6903} ]

[ T \approx \frac{52.6 \times 10^6}{6903} ]

[ T \approx 7619 \, \text{с} ]

Для перевода секунд в часы:

[ T \approx \frac{7619}{3600} \approx 2.12 \, \text{часа} ]

Таким образом, скорость спутника на высоте 2000 км составляет приблизительно 6903 м/с, а период его обращения — около 2.12 часа.

Для определения скорости спутника на круговой орбите воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона. Сила тяжести, действующая на спутник, равна центростремительной силе, необходимой для движения по окружности:

F = m g = m v^2 / r,

где m - масса спутника, g - ускорение свободного падения на высоте h, v - скорость спутника, r - радиус орбиты (радиус Земли + высота орбиты).

С учетом формулы для ускорения свободного падения на высоте h:

g = G * M / (R + h)^2,

где G - постоянная всемирного тяготения, M - масса Земли, R - радиус Земли.

Подставляя все значения и решая уравнение, получаем скорость спутника:

v = sqrt(G * M / (R + h)).

Теперь определим период вращения спутника. Период обращения спутника вокруг Земли связан с его скоростью и радиусом орбиты следующим образом:

T = 2 π r / v.

Подставляя значения и решая уравнение, получаем период вращения спутника.

Таким образом, зная высоту орбиты спутника и фундаментальные константы, мы можем определить его скорость и период вращения.