Тело массой 5 кг соскользнуло с наклонной плоскости длиной 2 м. Найдите работы силы тяжести, силы реакции опоры и силы трения. Угол наклона плоскости 30 градусов, коэффициент трения 0,35
Тело массой 5 кг соскользнуло с наклонной плоскости длиной 2 м. Найдите работы силы тяжести, силы реакции опоры и силы трения. Угол наклона плоскости 30 градусов, коэффициент трения 0,35
Для решения этой задачи рассмотрим все силы, действующие на тело, и найдем работы каждой из них.
На тело действуют:
Сила тяжести (( \vec{F}\text{тяж})): [ F\text{тяж} = m \cdot g = 5 \cdot 9.8 = 49 \, \text{Н}. ] Она направлена вертикально вниз.
Сила реакции опоры (( \vec{N} )): Это сила, перпендикулярная поверхности наклонной плоскости, компенсирующая перпендикулярную составляющую силы тяжести: [ N = F_\text{тяж} \cdot \cos\alpha = 49 \cdot \cos 30^\circ. ] Значение ( \cos 30^\circ \approx 0.866 ), значит: [ N = 49 \cdot 0.866 \approx 42.43 \, \text{Н}. ]
Сила трения (( \vec{F}\text{тр} )): Сила трения равна произведению силы реакции опоры на коэффициент трения: [ F\text{тр} = \mu \cdot N = 0.35 \cdot 42.43 \approx 14.85 \, \text{Н}. ]
Сила тяжести вдоль плоскости (( F\text{тяж, \, парал.} )): Эта составляющая силы тяжести направлена вдоль наклонной плоскости и вызывает движение тела: [ F\text{тяж, \, парал.} = F\text{тяж} \cdot \sin\alpha = 49 \cdot \sin 30^\circ. ] Значение ( \sin 30^\circ = 0.5 ), значит: [ F\text{тяж, \, парал.} = 49 \cdot 0.5 = 24.5 \, \text{Н}. ]
Работа силы определяется по формуле: [ A = F \cdot s \cdot \cos\theta, ] где:
Сила тяжести имеет составляющую, направленную вдоль плоскости (( F\text{тяж, \, парал.} = 24.5 \, \text{Н} )), которая совпадает с направлением движения (( \cos\theta = 1 )). Следовательно: [ A\text{тяж} = F_\text{тяж, \, парал.} \cdot s = 24.5 \cdot 2 = 49 \, \text{Дж}. ]
Сила реакции опоры (( N )) перпендикулярна направлению движения (( \theta = 90^\circ ), ( \cos 90^\circ = 0 )), поэтому работа этой силы равна: [ A_\text{N} = 0. ]
Сила трения (( F\text{тр} = 14.85 \, \text{Н} )) направлена противоположно движению (( \theta = 180^\circ ), ( \cos 180^\circ = -1 )). Следовательно: [ A\text{тр} = F_\text{тр} \cdot s \cdot \cos 180^\circ = 14.85 \cdot 2 \cdot (-1) = -29.7 \, \text{Дж}. ]
Полная работа (( A\text{полн} )) равна сумме работ всех сил. Она должна соответствовать изменению кинетической энергии тела (по теореме работы и энергии): [ A\text{полн} = A\text{тяж} + A\text{N} + A_\text{тр} = 49 + 0 - 29.7 = 19.3 \, \text{Дж}. ] Это значение совпадает с изменением кинетической энергии тела, так как только часть работы силы тяжести ушла на преодоление трения.
Таким образом, работы сил:
Для решения задачи начнем с определения сил, действующих на тело, и вычисления работы каждой из этих сил.
1. Определяем силы, действующие на тело:
Сила тяжести: ( F_g = mg ), где ( m = 5 \, \text{кг} ), ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ).
[ F_g = 5 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 49.05 \, \text{Н} ]
Сила нормальной реакции опоры: ( F_n ).
На наклонной плоскости сила тяжести раскладывается на две компоненты: параллельную плоскости и перпендикулярную ей.
[ F{g\parallel} = mg \sin(\theta) ] [ F{g\perp} = mg \cos(\theta) ]
Для угла наклона ( \theta = 30^\circ ):
[ F_{g\parallel} = 5 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ) = 5 \cdot 9.81 \cdot 0.5 = 24.525 \, \text{Н} ]
[ F_{g\perp} = 5 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot 9.81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42.426 \, \text{Н} ]
Сила нормальной реакции равна перпендикулярной компоненте силы тяжести:
[ Fn = F{g\perp} \approx 42.426 \, \text{Н} ]
Сила трения: ( F_t = \mu F_n ), где ( \mu = 0.35 ).
[ F_t = 0.35 \cdot 42.426 \approx 14.87 \, \text{Н} ]
2. Вычисляем работу каждой из сил:
Работа силы тяжести:
Сила тяжести выполняет работу, когда тело перемещается вниз по наклонной плоскости. Длина пути по наклонной плоскости равна 2 м, и работа будет равна:
[ Ag = F{g\parallel} \cdot d = 24.525 \, \text{Н} \cdot 2 \, \text{м} = 49.05 \, \text{Дж} ]
Работа силы реакции опоры:
Сила реакции опоры перпендикулярна перемещению, поэтому работа силы реакции опоры равна нулю:
[ A_n = 0 \, \text{Дж} ]
Работа силы трения:
Сила трения также направлена против перемещения, и работа будет отрицательной:
[ A_t = -F_t \cdot d = -14.87 \, \text{Н} \cdot 2 \, \text{м} \approx -29.74 \, \text{Дж} ]
Итог:
Таким образом, работы указанных сил составляют:
Для решения задачи необходимо рассчитать работы каждой из сил.
Работа силы тяжести (Wg): Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии. Высота h может быть найдена из треугольника:
[ h = L \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 0.5 = 1 \text{ м} ]
Работа силы тяжести:
[ W_g = m \cdot g \cdot h = 5 \cdot 9.81 \cdot 1 = 49.05 \text{ Дж} ]
Работа силы реакции опоры (N): Сила реакции опоры перпендикулярна перемещению, поэтому работа силы реакции равна нулю:
[ W_N = 0 \text{ Дж} ]
Работа силы трения (Wf): Сила трения определяется как:
[ F_f = \mu \cdot N ]
Нормальная сила N:
[ N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 5 \cdot 9.81 \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot 9.81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42.44 \text{ Н} ]
Теперь находим силу трения:
[ F_f = 0.35 \cdot 42.44 \approx 14.87 \text{ Н} ]
Работа силы трения:
[ W_f = - F_f \cdot L = - 14.87 \cdot 2 \approx -29.74 \text{ Дж} ]
Таким образом, работы сил составляют:
