В последнюю секунду свободного падения тело прошло четвертую часть пути. Сколько времени и с какой высоты...

Чтобы решить задачу, сначала отметим, что в последнюю секунду свободного падения тело прошло четвертую часть общего пути. Это важное условие, которое поможет нам найти высоту и время падения.

Обозначим:

• ( h ) — высота, с которой падало тело.
• ( t ) — время падения.
• ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.8 \, \text{м/с}^2 ) на Земле).

1. Высота падения:

Общая высота падения ( h ) может быть выражена через время падения ( t ) и ускорение ( g ) по формуле: [ h = \frac{1}{2} g t^2 ]

1. Высота, пройденная за последнюю секунду:

Высота, пройденная телом за последнюю секунду ( t ), равна разности высот, пройденных за ( t ) и ( t-1 ) секунд: [ h_{\text{посл. сек.}} = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2 ]

1. Условие задачи:

По условию задачи, высота, пройденная за последнюю секунду, составляет четвертую часть общей высоты: [ \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} g t^2 ]

Упростим уравнение: [ \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t^2 - 2t + 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} g t^2 ] [ \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g t^2 + g t - \frac{1}{2} g = \frac{1}{8} g t^2 ] [ g t - \frac{1}{2} g = \frac{1}{8} g t^2 ]

Разделим обе части уравнения на ( g ): [ t - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} t^2 ] [ \frac{1}{8} t^2 - t + \frac{1}{2} = 0 ]

Умножим обе стороны уравнения на 8: [ t^2 - 8t + 4 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение: [ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} ] [ t = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} ] [ t = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} ] [ t = 4 \pm 2\sqrt{3} ]

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень: [ t = 4 + 2\sqrt{3} ]

1. Высота падения:

Теперь найдем высоту, с которой падало тело: [ h = \frac{1}{2} g t^2 ] [ h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (4 + 2\sqrt{3})^2 ]

Вычислим ( (4 + 2\sqrt{3})^2 ): [ (4 + 2\sqrt{3})^2 = 16 + 16\sqrt{3} + 12 = 28 + 16\sqrt{3} ]

Теперь подставим значение: [ h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (28 + 16\sqrt{3}) ] [ h = 4.9 \cdot (28 + 16\sqrt{3}) ] [ h = 137.2 + 78.4\sqrt{3} ]

Таким образом, тело падало с высоты примерно ( 137.2 + 78.4\sqrt{3} ) метров (что примерно равно 273.9 метров) за время ( 4 + 2\sqrt{3} ) секунд (что примерно равно 7.46 секунд).

Тело падало 2 секунды с высоты 20 метров.

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением свободного падения:

h(t) = h(0) - (gt^2)/2

где h(t) - высота тела в момент времени t, h(0) - начальная высота, g - ускорение свободного падения (принимаем за 9.8 м/с^2).

Из условия задачи известно, что в последнюю секунду тело прошло четвертую часть пути, то есть h(1) = h(0)/4, где h(1) - высота тела через 1 секунду. Подставим это в уравнение:

h(1) = h(0) - (g*1^2)/2 = h(0) - g/2 = h(0)/4

Отсюда получаем, что h(0) = 3g/2 = 14.7 м.

Теперь найдем время падения. Пусть t - время падения. Тогда через t секунд высота тела будет равна нулю:

h(t) = h(0) - (gt^2)/2 = 0

Подставляем найденное значение h(0):

3g/2 - (gt^2)/2 = 0

Решая это уравнение, получаем t ≈ 1.52 секунды.

Итак, тело падало с высоты 14.7 м и время падения составило около 1.52 секунды.