Во сколько раз Арктур ( альфа Волопаса) больше Солнца, если его светимость больше в 100 раз солнечной,...

Арктур (альфа Волопаса) в 17000 раз ярче Солнца.

Чтобы ответить на вопрос о соотношении размеров Арктура и Солнца, необходимо воспользоваться формулой, связывающей светимость, радиус и температуру звезды. Эта формула известна как уравнение светимости:

[ L = 4 \pi R^2 \sigma T^4 ]

где:

• ( L ) — светимость звезды,
• ( R ) — радиус звезды,
• ( \sigma ) — постоянная Стефана-Больцмана (( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт} \, \text{м}^{-2} \, \text{К}^{-4} )),
• ( T ) — температура поверхности звезды.

Пусть ( L{\odot} ) — светимость Солнца, ( R{\odot} ) — радиус Солнца, и ( T_{\odot} ) — температура поверхности Солнца (приблизительно 5778 К).

По условию, светимость Арктура ( L{Arcturus} ) равна 100 ( L{\odot} ), а температура ( T_{Arcturus} ) равна 4500 К.

Теперь выразим радиус Арктура ( R{Arcturus} ) через радиус Солнца ( R{\odot} ):

[ \frac{L{Arcturus}}{L{\odot}} = \left( \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} \right)^2 \left( \frac{T{Arcturus}}{T{\odot}} \right)^4 ]

Подставим известные значения:

[ 100 = \left( \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} \right)^2 \left( \frac{4500}{5778} \right)^4 ]

Вычислим отношение температур:

[ \frac{4500}{5778} \approx 0.778 ]

Теперь возведем это число в четвертую степень:

[ 0.778^4 \approx 0.366 ]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

[ 100 = \left( \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} \right)^2 \cdot 0.366 ]

Чтобы найти отношение радиусов, решим уравнение относительно ( \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} ):

[ \left( \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} \right)^2 = \frac{100}{0.366} ]

[ \left( \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} \right)^2 \approx 273 ]

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

[ \frac{R{Arcturus}}{R{\odot}} \approx \sqrt{273} \approx 16.52 ]

Таким образом, радиус Арктура примерно в 16.52 раза больше радиуса Солнца.

Для того чтобы определить, во сколько раз Арктур больше Солнца, необходимо использовать закон Стефана-Больцмана, который утверждает, что светимость звезды пропорциональна четвертой степени её температуры. Формула для светимости звезды выглядит следующим образом:

L = 4πR^2σT^4,

где L - светимость звезды, R - радиус звезды, σ - постоянная Стефана-Больцмана, T - температура звезды.

Для Солнца светимость составляет около 3,846*10^26 Вт, а температура на его поверхности примерно 5778К. Подставим эти значения в формулу и найдем радиус Солнца:

3,84610^26 = 4πR^25,6710^-8(5778)^4, R^2 = 6,110^18, R = 1,510^9 м.

Теперь посчитаем светимость Арктура:

L_Arcturus = 100L_Sun, L_Arcturus = 1003,84610^26 = 3,84610^28 Вт.

Также нам дана температура Арктура - 4500К. Найдем радиус Арктура, подставив известные значения в формулу:

3,84610^28 = 4πR^25,6710^-8(4500)^4, R^2 = 1,9910^20, R = 4,510^10 м.

Теперь найдем, во сколько раз радиус Арктура больше радиуса Солнца:

(4,510^10) / (1,510^9) = 30.

Таким образом, Арктур больше Солнца примерно в 30 раз по радиусу.