Всплеск от падения камня в воду, сброшенного с вершины скалы, слышен через промежуток времени 5 с. Найдите высоту скалы. Скорость звука в воздухе 343 м/с.
Всплеск от падения камня в воду, сброшенного с вершины скалы, слышен через промежуток времени 5 с. Найдите высоту скалы. Скорость звука в воздухе 343 м/с.
Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для определения высоты падения объекта: h = 1/2 g t^2, где h - высота скалы, g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с^2), t - время, за которое звук доносится до наблюдателя.
Из условия задачи имеем, что время t = 5 секунд. Подставляем все известные данные в формулу: h = 1/2 9,8 5^2 = 122,5 м.
Таким образом, высота скалы, с которой был сброшен камень, составляет 122,5 метра.
Для решения задачи потребуется использовать законы свободного падения и знания о распространении звука. Поскольку известно, что общий промежуток времени составляет 5 секунд, нам нужно разделить это время на два этапа: время падения камня и время распространения звука от места удара камня о воду до наблюдателя.
Обозначим:
Из условий задачи известно, что ( t_1 + t_2 = 5 ) секунд.
1. Время падения камня:
Для расчета времени свободного падения камня используем формулу: [ h = \frac{1}{2} g t_1^2 ]
где ( g ) — ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с²).
2. Время распространения звука:
Для расчета времени распространения звука используем формулу: [ h = v t_2 ]
где ( v ) — скорость звука в воздухе (343 м/с).
Теперь у нас есть две уравнения: [ h = \frac{1}{2} g t_1^2 ] [ h = v t_2 ]
И известно, что: [ t_1 + t_2 = 5 ]
Сначала выразим ( t_2 ) через ( t_1 ): [ t_2 = 5 - t_1 ]
Теперь подставим это выражение в уравнение для высоты: [ h = v (5 - t_1) ]
И уравняем оба выражения для высоты: [ \frac{1}{2} g t_1^2 = v (5 - t_1) ]
Подставим числовые значения: [ \frac{1}{2} 9.8 t_1^2 = 343 * (5 - t_1) ]
Упростим уравнение: [ 4.9 t_1^2 = 1715 - 343 t_1 ]
Перенесем все члены уравнения в левую часть: [ 4.9 t_1^2 + 343 t_1 - 1715 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 4.9 ), ( b = 343 ) и ( c = -1715 ).
Вычислим дискриминант: [ D = 343^2 - 4 4.9 (-1715) ] [ D = 117649 + 33662 ] [ D = 151311 ]
Теперь найдем корни уравнения: [ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ t_1 = \frac{-343 \pm \sqrt{151311}}{2 * 4.9} ] [ t_1 = \frac{-343 \pm 389}{9.8} ]
Получим два значения для ( t_1 ): [ t_1 = \frac{46}{9.8} \approx 4.69 ] (положительное значение) [ t_1 = \frac{-732}{9.8} \approx -74.69 ] (отрицательное значение, не рассматривается)
Таким образом, ( t_1 \approx 4.69 ) секунд.
Теперь найдем ( t_2 ): [ t_2 = 5 - 4.69 \approx 0.31 ] секунд.
Теперь найдем высоту скалы: [ h = \frac{1}{2} 9.8 (4.69)^2 ] [ h \approx \frac{1}{2} 9.8 22 ] [ h \approx 107.8 \text{ метров} ]
Или используя время распространения звука: [ h = 343 * 0.31 \approx 106.33 \text{ метров} ]
Небольшая разница может быть вызвана округлением, но в целом высота скалы составляет примерно 107 метров.
