Вычислите высоту на которой гравитационная сила, действующая на тело будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли принять равным 6370 км.
Вычислите высоту на которой гравитационная сила, действующая на тело будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли принять равным 6370 км.
Для решения задачи используем формулу для гравитационной силы: F = G m1 m2 / r^2, где F - гравитационная сила, G - постоянная гравитации, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между телами.
Пусть r1 - расстояние от центра Земли до точки, где гравитационная сила будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности. Тогда:
F1 = F / 7,7 G M m / r^2 = G M m / r1^2 / 7,7 r1^2 = r^2 7,7 r1 = r sqrt(7,7)
r1 = 6370 sqrt(7,7) ≈ 6370 2,77 ≈ 17650 км
Таким образом, высота на которой гравитационная сила будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет около 17650 км.
Для вычисления высоты, на которой гравитационная сила, действующая на тело, будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли, воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона. Согласно этому закону, сила гравитации ( F ) между двумя массами ( m_1 ) и ( m_2 ) на расстоянии ( r ) друг от друга выражается формулой:
[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} ]
где ( G ) — гравитационная постоянная.
На поверхности Земли сила тяжести ( F_0 ) на тело массы ( m ) равна:
[ F_0 = G \frac{M m}{R^2} ]
где:
На высоте ( h ) над поверхностью Земли сила тяжести ( F_h ) будет:
[ F_h = G \frac{M m}{(R + h)^2} ]
По условию задачи, ( F_h ) в 7,7 раз меньше ( F_0 ):
[ F_h = \frac{F_0}{7,7} ]
Подставим выражения для ( F_0 ) и ( F_h ):
[ G \frac{M m}{(R + h)^2} = \frac{G \frac{M m}{R^2}}{7,7} ]
Сократим общие множители ( G ), ( M ) и ( m ):
[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{7,7 R^2} ]
Теперь избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на ( (R + h)^2 \cdot 7,7 R^2 ):
[ 7,7 R^2 = (R + h)^2 ]
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
[ \sqrt{7,7} R = R + h ]
[ \sqrt{7,7} R - R = h ]
Вынесем ( R ) за скобку:
[ h = R (\sqrt{7,7} - 1) ]
Теперь подставим значение радиуса Земли ( R = 6370 ) км:
[ h = 6370 (\sqrt{7,7} - 1) ]
Вычислим (\sqrt{7,7}):
[ \sqrt{7,7} \approx 2,774 ]
[ h = 6370 (2,774 - 1) ]
[ h = 6370 \times 1,774 ]
[ h \approx 11300 \text{ км} ]
Таким образом, высота, на которой гравитационная сила будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 11300 км.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что гравитационная сила между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Известно, что на поверхности Земли гравитационная сила равна примерно 9,8 Н/кг. Пусть на искомой высоте гравитационная сила будет 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли. Тогда гравитационная сила на данной высоте будет равна 9,8/7,7 ≈ 1,27 Н/кг.
Теперь мы можем использовать закон всемирного тяготения для нахождения высоты h, на которой гравитационная сила будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли:
F = G m1 m2 / r^2,
где F - гравитационная сила, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между центрами тел.
На поверхности Земли гравитационная сила F1 = 9,8 Н/кг, а на расстоянии h от центра Земли гравитационная сила F2 = 1,27 Н/кг. Масса тела m не влияет на результат, так как она сократится при делении.
Подставляем известные значения в уравнение:
F1 / F2 = (r / (r + h))^2,
9,8 / 1,27 = (6370 / (6370 + h))^2,
7,72 ≈ (6370 / (6370 + h))^2.
Извлекаем квадратный корень:
7,7 ≈ 6370 / (6370 + h),
7,7 * (6370 + h) ≈ 6370,
49069 + 7,7h ≈ 6370,
7,7h ≈ 14699,
h ≈ 1909,1 км.
Таким образом, высота на которой гравитационная сила, действующая на тело, будет в 7,7 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 1909,1 км.
